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32009 MATHEMATIQUES Série S Fiche 9 : Dénombrement Plan de la fiche I - Les listes II - Arrangements III - Permutations IV - Combinaisons V - Binôme de Newton VI - Principe fondamental du dénombrement I - Les listes p-liste E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1). Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts). Exemple On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu

majuscule • > indique le sens de la lecture (ex: « paul APourCompte c1 » ) Diagrammes de Classes 6 1 Rôles Chacun des deux objets joue un rôle diffèrent dans le lien APourCompte> Associations (entre classes) Une association décrit un ensemble de liens de même sémantique APourCompte> pierre : Client titulaire compte c1 : Compte Client Compte Diagramme de classes (modèlisation) pierre assume le rôle de titulaire pour le compte c1 c1 assume le rôle de compte pour

Th´ orie de l’int´ gration e e Jean JACOD 2002-2003 Table des mati` res e 1 Introduction - La notion de mesure 1.1 Rappels sur les ensembles . . . . . . . . . . . 1.2 Th´ orie de la mesure et th´ orie de l’int´ gration e e e 1.3 La classe des ensembles mesurables . . . . . . 1.4 Les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . ` L’int´ gration par rapport a une mesure e 2.1 Les fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . 2.2 L’int´

ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ . ℕ = {0 ; 1; 2 ;3 ; 4...} . Exemples : 4 ∈ℕ -2 ∉ ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ . ℤ = { 3 ;−2 ;−1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ...}. ...− Exemples : -2 ∈ ℤ 5∈ ℤ 0,33 ∉ ℤ 3. Nombres

Pourcentages 1. Part en pourcentage Définition Soit E un ensemble fini (que l'on appellera ensemble de référence) et F une partie de l'ensemble E. La part en pourcentage de F par rapport à E est le nombre : On dit également que F représente t% de E. Remarques * 5%, et 0,05 sont trois écritures différentes du même nombre (pourcentage, fraction, écriture décimale). * On est en présence d'une situation de proportionnalité que l'on peut représenter par le tableau suivant : t | nombre

a=input(’entrer un r´ eel’) ; disp(f(a)); x=-a : 0.01 :a ; y=f(x); plot(x,y); 2. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle l’ordinateur renvoie la valeur 4 ? Préciser. Exercice 2. On se donne A, B et C trois ensembles ayant un nombre fini d’éléments. On note Car d le nombre d’éléments d’un ensemble fini (ainsi, Car d(A) est le nombre d’éléments de l’ensemble A, si A a m éléments, on écrira Car d(A) = m.) On rappelle la propriété suivante : ∀(A, B) ∈ P (E)2 , A ∩ B = ⇒ Car d(A ∪ B) = Car d(A) + Car d(B)

reporter au programme officiel présent sur le site de l’Union des Professeurs de Spéciales , qui seul fait autorité. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 1 Table des matières A Structures fondamentales A.1 Éléments de théorie des ensembles . A.2 Ensembles finis, monoïdes . . . . . A.3 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Arithmétique . . . . . . . . . . . . A.6 Le corps des nombres réels R . . . . A.7 Le corps des nombres complexes C . . . . .

aussi un ensemble d'usages des biens, des interactions sociales autour de cet acte d'achat, généralement dans le but de satisfaire des besoins ou des désirs. Réseau social : Un réseau social (Un réseau social est un ensemble d'entités sociales tel que des individus ou des organisations sociales reliés entre eux par des liens créés lors des interactions sociales. Il se représente par une structure ou une forme dynamique d'un groupement social. L'analyse des réseaux...) est un ensemble (En théorie

. . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 7 7 8 8 9 9 13 13 14 14 15 18 20 21 21 24 28 29 29 32 33 34 36 37 2 ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES 2.1 Les Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . 2.2 Applications et Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Composition d’applications . . . . . . . . . .

est nulle lorsque les nombres sont égaux. Elle permet de distinguer deux valeurs de mesure ou deux valeurs de calcul, exprimées dans la même unité. Dans la théorie des ensembles, la différence entre deux ensembles est l'ensemble des éléments qui font partie de l'un des ensembles sans faire partie de l'autre. Voir différence (ensembles). Statistiques[modifier] Dans les analyses statistiques concernant les différences (la taille des individus de deux échantillons par exemple), l'hypothèse de départ