Formule d'Euler-Maclaurin

Trigonométrie I - Généralités 1.1/ Relations fondamentales tan(x) = sin(x)/cos(x) Petite astuce de Nelly: Pour se souvenir de la formule précédente, perso je me dis que tangente c'est Soleil sur Carottes ! D'où sin sur cos...si ça peut aider! sin²(x) + cos²(x) = 1 sin²(x) = tan²(x) / (1 + tan²(x)) cos²(x) = 1 / (1 + tan²(x)) 1.2/ Transformations remarquables sin(2 + x) = sin(x) cos(2 + x) = cos(x) tan(2 + x) = tan(x) sin( -x) = - sin(x) cos( -x) = cos(x) tan( -x) = - tan(x) sin( -

trigonométriques à l’aide du cercle trigonométrique. - propriétés des nombres complexes vues en terminale (module argument) Préambule Ce chapitre a pour objectifs : - de déterminer de nouvelles formules de trigonométrie à l’aide des nombres complexes - de transformer des expressions trigonométriques à l’aide de ces formules (linéarisation, développement de cos(px) ou sin(px) en fonction de cos x et sinx) - de résoudre des équations polynômiales à coefficients complexes - de déterminer les racines n-ième d’un

la lumière,...), les mathématiques, où il met au premier plan le concept de fonction. On lui doit aussi la très jolie relation entre les nombres de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe (ex : le cube, le tétraèdre,...).   La santé d'Euler était assez fragile. Il perdit son oeil droit en 1735, puis son oeil gauche en 1771 en raison d'une cataracte. Il fut donc pendant 12 ans totalement aveugle. Cela obligeait ce mathématicien très prolixe, qui publia 886 ouvrages, le tout en 80 volumes

.................................................. 38 6. La dérivation chainée ........................................................................................................................... 39 7. Expansions en série de Taylor et de Maclaurin.................................................................................. 39 Expansion en série de Taylor d'une fonction scalaire multivariable ............................................................. 39 Série de Taylor à deux variables

cosinus de l’angle sous lequel il frappait les ailes. | F=a v²cos²(a ) | Il en avait déduit que la meilleure inclinaison des ailes par rapport à la direction du vent était de 54°44’. Daniel Bernoulli, Maclaurin puis d’Alembert reprirent le problème en tenant compte de la vitesse de rotation des ailes que Parent avait négligé, pour chercher à calculer comment l’inclinaison de la surface par rapport à la direction du vent devait varier. La forme des ailes

ram`enent et se r´esolvent par optimisation. C’est une discipline fondamentale dans les sciences de l’ing´enieur, de l’´economie et de la gestion, pour ne citer qu’elles. Co py r igh t: Les premiers probl`emes d’optimisation auraient ´et´e formul´es par le math´ematicien Euclide, au IIIe si`ecle av. J.C. dans Les El´ements. Trois si`ecles plus tard H´eron d’Alexandrie ´enonce le principe du plus court chemin en optique. Au XVIIe si`ecle l’apparition du calcul diff´erentiel sous l’´egide de

e e est donc donn´ par la valeur absolue de la d´riv´e |f (x)| ; ce coefficient peut ˆtre e e e parfois assez grand. Souvent dans les calculs num´riques (et ici en particulier), il e est plus pertinent de consid´rer les erreurs relatives. La formule e |f (x)||x| ∆x ∆f (x) = |f (x)| |f (x)| |x| montre que le coefficient d’amplification de l’erreur relative est |f (x)||x|/|f (x)|. Dans le cas f (x) = ln (x) qui nous int´resse, ce coefficient vaut 1/| ln x| ; il devient e tr`s grand lorsque

contribue au développement de la résolution des équations différentielles. La fonction devient un objet d'étude à part entière. On s'en sert dans des problèmes d'optimisation. On la développe en séries entières ou asymptotiques(Taylor, Stirling, Euler, Maclaurin, Lagrange), mais sans se préoccuper de leur convergence. Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes [15] . Le théorème fondamental de l'algèbre (existence de racines

hyperboliques directes et r´eciproque 1.10 Formule des accroissement finis . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Th´eor`eme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Formule des accroissement finis . . . . . . . . . 1.11 Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Applications pratiques des d´eriv´ees . . . . . . . 2 Formule de Taylor et D´ eveloppements limit´ es 2.1 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formule de MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . 2.3

............................................................................... 19 1.1 Formalisme de Lagrange ..................................................................................................................... 19 1.2 Formalisme d’Euler ............................................................................................................................... 19 1.3 Trajectoires et lignes de courant..............................................................................