Lemme de Zorn

Ensemble bien ordonné Un ensemble ordonné ( E, ≤ ) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite : Toute partie non vide de E possède un plus petit élément. On démontre que tout ensemble bien ordonné est totalement ordonné. En effet, soit [pic]un ensemble bien ordonné, et [pic]. D'après la propriété de bon ordre de [pic], l'ensemble [pic]admet un plus petit élément. En d'autres termes : [pic]. Si de plus l'axiome du choix dépendant est vérifié

Jaligot, Maurice Pouzet et mes coll`gues agr´gatifs, qu’ils en soient remerci´s. e e e Au fait, quel est le lien de tout ceci avec le lemme de Baire? Patience, j’y reviendrai. 2 Le lemme de Baire Je ne fais ici que rappeler le lemme de Baire et sa d´monstration la plus classique. e Ceux qui connaissent d´j` ceci peuvent se rendre au paragraphe suivant. ea Lemme 1 Soit E un espace de Banach, (On )n∈N une famille d´nombrable e d’ouverts denses de E. Alors ∩i∈N On est dense dans E. Dmonstration

CantatJME3.rep140 Le journal de maths des élèves, Volume 1 (1995), No. 3 Théorème de Poincaré-Bendixson Serge Cantat Introduction. On présente ici une démonstration du théorème de Poincaré-Bendixson et quelques questions qui lui sont liées. Ce théorème s’inscrit dans le cadre de la théorie qualitative des équations différentielles, il n’est donc pas surprenant d’y voir attaché le nom d’Henri Poin- caré. Son énoncé donne l’existence de solutions pério- diques pour des équations

provisoirement le r´sultat 2.) que g est affine. Ainsi f est affine. e Montrons maintenant l’affirmation 2. Soit donc g une bijection qui envoie trois points align´s sur trois points align´s. On proc`de par ´tapes et on montre les lemmes e e e e suivants. 2. Lemme 1.1.2 – Si F est un sous-espace affine de E, alors g −1 (F ) est un sous-espace affine. Soit F un sous-espace affine, et G = g −1 (F ). Pour montrer que G est un sous-espace affine, il suffit de montrer qu’il est non-vide (ok puisque g est bijective) et que

Proposition 3. Dans un compact, toute suite a au moins une valeur d’adh´rence. De plus, e si cette valeur d’adh´rence est unique alors la suite converge. e La preuve de la premi`re partie de la proposition repose sur le lemme suivant que nous laissons e au lecteur en guise d’exercice. Lemme. Soit (X, O) un espace topologique compact et (Fn )n∈N une suite d´croissante (au sens e de l’inclusion) de ferm´s non vides de X. Alors n∈N Fn n’est pas vide. e Revenons ` la preuve de la proposition. Soit X un compact

– – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes Notions – Deux

pas comparables. Exercice 1.5. e Soit a ≤ b des r´els et fn : [a, b] → R une suite de fonctions continues. On suppose e que pour tout x de [a, b], la suite fn (x) tend vers 0 en d´croissant. Montrer que la suite e fn converge uniform´ment vers 0 (lemme de Dini3 ). Montrer que si gn est une suite de fonctions continues positives sur [a, b] qui tend simplement en croissant vers une fonction b b continue g, alors a gn (t)dt → a g(t)dt. Corrig´. Il s’agit d’un exercice classique d’analyse. Raisonnons

l’étudiant de s’entraîner, comme certains exercices du chapitre I. Il contient des résultats plus récents ou des preuves moins classiques que nous ne saurions citer tous, comme l’équation de Daugavet au chapitre VIII, la preuve par série de Neumann du lemme de Wiener ou les caractérisations de l’algèbre de Deddens au chapitre X, et les propriétés fines des contractions au chapitre VI. Précisons un point important : on donne d’abord tous les énoncés d’un chapitre, ensuite tous les corrigés des exercices