Faut il croire a la science

Pages: 361 (90221 mots) Publié le: 25 août 2013
ANALYSE FONCTIONNELLE ET THÉORIE DES OPÉRATEURS
EXERCICES CORRIGÉS
Josette Charles
Professeur à l’Université de Montpellier 2

Mostafa Mbekhta
Professeur à l’Université de Lille 1

Hervé Queffélec
Professeur à l’Université de Lille 1

Illustration de couverture : digital vision R

c Dunod, Paris, 2010

ISBN 978-2-1005-5453-9

À mes parents. Ils ne savaient ni lire ni écrire.Leur amour me permet aujourd’hui d’écrire ce livre. Mostafa Mbekhta

À mes parents. Hervé Queffélec

À tous les participants du groupe « opérateurs » de Montpellier. Josette Charles

A VANT - PROPOS

L’idée de cet ouvrage s’est peu à peu dégagée à l’occasion de rencontres (colloques, soutenances de thèse, GDR, etc.) entre trois amis universitaires travaillant, à des titres divers, dans ledomaine de l’analyse fonctionelle. Cette Analyse dite fonctionnelle interagit avec de nombreux autres domaines des mathématiques, avec un enrichissement mutuel. C’est ce que nous avons tenté de mettre en évidence tout au long de ces dix chapitres d’exercices corrigés et commentés, en ayant le souci de nous maintenir à un niveau moyen qui est celui d’une première année de Master, c’est-à-dire celuidu M1, et de rendre l’utilisation de cet ouvrage commode pour un lecteur motivé et ayant un niveau initial équivalent à celui du L3. Illustrons par quelques exemples les interactions mentionnées plus haut : 1. Convexité : Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers) aussiappelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des opérateurs ayant une « grande » algèbre de Deddens associée. Un autre aspect de la convexité est la notion de point extrémal, présente au chapitre IX (avec lethéorème de Krein-Milman sous-jacent) et au chapitre VI avec la caractérisation des points extrémaux de la boule unité des opérateurs sur un Hilbert, qui fait apparaître des phénomènes nouveaux intéressants (co-isométries vraies) en dimension infinie. 2. Topologie : L’utilisation de la compacité apparaît au chapitre VII avec les opérateurs compacts, dont on sait que la théorie spectrale est proche de cellefaite en dimension finie (théorie de Riesz) et le théorème d’Ascoli-Arzela y est souvent utilisé, ainsi que la convergence quand il y a une seule valeur d’adhérence (et quand l’espace ambiant est compact), et les théorèmes de Tychonoff, Banach-Alaoglu, pour les topologies affaiblies du chapitre IX. La connexité joue aussi un certain rôle dans cet ouvrage, notamment au chapitre V (spectre d’uneisométrie) ou au chapitre X (Théorème de Runge, exponentielles dans l’espace des fonctions continues, frontière du spectre, composantes connexes du groupe des éléments inversibles dans une algèbre de Banach, etc.). Enfin, la complétude est évidemment centrale tout au long de ces chapitres,
VII

Avant-propos

avec les théorèmes de Baire (chapitre 2, sommes de fonctions partout sans dérivée), deBanach-Steinhaus, du graphe fermé et de l’application ouverte (Chapitres I, II, IV, VI par exemple). 3. Intégration et théorie de la mesure : Une classe très intéressante d’opérateurs, les opérateurs intégraux, est étudiée au chapitre VIII, où la théorie de l’intégration est centrale, avec les théorèmes de Fubini et de convergence dominée (par exemple, dans l’exercice 10, le fait sous-jacent qu’unesuite de fonctions uniformément bornées qui converge simplement vers zéro converge faiblement au sens des espaces de Banach). Cette théorie de la mesure permet également de donner, au chapitre X, des exemples intéressants d’algèbres de Banach dont le groupe des éléments inversibles contient « beaucoup » de non-exponentielles, et qui sont liées à l’analyse harmonique et et aux séries de Fourier....
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