Limite

0/Genreralite - Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. -

majorée (resp. minorée, bornée). Exemple : La suite u n  définie par u n =cos n est majorée par 1, minorée par -1, donc elle est bornée. La suite  v n  telle que v n=n 2 n'est pas majorée : elle est minorée par 0. Donc elle n'est pas bornée. 2- Limites : Propriété 1 : Soit u une suite qui converge vers un réel L. 1. Si la suite u n  est majorée par un réel M alors L≤M. 2. Si la suite u n  est minorée par un réel m alors L≥m. Exercice 1 : Soit la suite u n  définie par u 0=0,5 et u n 1 =

S n = u 0 + u 1 + . . . + u n = u 0 × 1 − q n+1 1−q 1 − q nombre de termes . 1−q II Limite d’une suite 1 Limite infinie Définition 4 On dit qu’une suite (u n ) admet pour limite +∞ si tout intervalle de la forme ]a; +∞[, où a est un réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors lim u n = +∞. n→+∞ On dit qu’une suite (u n ) admet pour limite −∞ si tout intervalle de la forme ] − ∞; b[, où b est un réel contient tous les termes de la suite

croissante Si q=1 : alors la suite Un est constante IV – Limite de suite de terme général (q^n) Soit q un réel strictement positif : . Si 0&lt;q&lt;1 alors la suite q^n a pour limite 0 (elle converge vers 0) . Si q&gt;1 alors la suite (q^n) n’a pas de limite (elle diverge vers +infini) Soit q un réel tel que 0&lt;q&lt;1 : Alors la suite u est définie par la somme Un=1+q+q^2+…+q^n est strictement croissante et a pour limite le nombre réel 1/(1-q)

DLC,DLUO, quelle différence ? La date limite de consommation (DLC) se présente sous la forme « à consommer jusqu'au », celle-ci impose de la respecter car au-delà il y a risque. La date limite d'utilisation optimale (DLUO), « à consommer de préférence avant le », ne présente pas de risque si elle est dépassée, mais informe le consommateur qu'après cette date, le produit peut perdre ses qualités (gustatives, nutritionnelles...) Dépasser la date limite ? La DLC est définie à partir d'études

benzimidazoles Contrôler la moisissure et la pourriture des fruits et des légumes L’un des fongicides les plus utilisés au monde Présent dans les agrumes, les pommes, les poires et les bananes choix de la matrice d’étude : les fruits Toxique et écotoxique LMR (Limite Maximale de Résidus): 5 µg/g (législation européenne) 2-(4-Thiazolyl)benzimidazole 3 Introduction : le cycle de vie 5 étapes • • • • • Production Transport Stockage Utilisation Recyclage 4 www.cg66.fr/environnement/pesticides/danger.html

l’adoption durèglement européen du 1/09/08 c’est que l’UE impose que les denrées alimentaires produites ou importées dans un Etat membre soient plus sûres pour l’ensemble des consommateurs. Des valeurs identiques danstous les Etats membres pour les limites maximales applicables aux résidus des pesticides (LMR) ont décidé et cela supprime aussi les 27 listes de LMR nationales qui étaient une source de confusion. Cenouveau règlement couvre 1100 pesticides utilisés dans l’agriculture. Dorénavant, la Commission

1)2   £   £ (c.t + d)/(1 + t2 )).¢ 4 pt. ¡La solution trouvée admet elle une limite nie en 1 ? ¢ 2 pt. ¡ Soit [♠(2)] u une suite réelle. On suppose qu'elle vérie : p K ∀ ε ∈ R+∗ , ∃ K ∈ N, ∀ (p, q) ∈ N2 , ⇒ |up − uq | ε. q K £   Montrez que cette suite est bornée. 2 pt. ¢ ¡ Justiez : il existe au moins une suite strictement croissance ϕ de N dans N telle que £   (uϕ(n) )n converge.¢ 1 pt. ¡ On note λ sa limite. Montrez que (un ) converge aussi vers λ   £   £ (en écrivant |un −λ| = |un

un . n→+∞ Théorèmes sur les limites Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est convergente vers 0. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes et α ∈ R • La suite (un + αvn )n∈N converge et lim un + αvn = lim un + α lim vn . n→+∞ n→+∞ n→+∞ • La suite (un vn )n∈N converge et lim un vn = ( lim un )( lim vn ) n→+∞ n→+∞ n→+∞ • Si la suite (un )n∈N a une limite non nulle, la suite de terme général

Lois limites Echantillonnage 1 Lois Limites 1.1 Exemple On considère X1, . . . , Xn ,n variables aléatoires indépendantes et de même loi, de moyenne m et d'écart type s. Soit alors = m et = s 1.2 Deux théorèmes fondamentaux Th 1 : Loi faible des grands nombres Soient X1; X2 ; . . . Xn n variables aléatoires indépendantes et de même loi de moyenne m alors la variable aléatoire vérifie pour tout réel positif e : Signification: Lorsque n devient très grand, le