Loi de réciprocité quadratique

son ardoise. Ce n'est pas qu'il fut un génial calculateur, mais il avait trouvé une formule générale pour calculer de telles sommes. A l'université, à 19 ans, il fut le premier à démontrer : * la loi de réciprocité quadratique : Dans le cas de deux variables réelles x et y, une forme quadratique f est une fonction numérique de deux variables de la forme f(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 , g(x,y,z) = ax2 + 2bxy + 2cxz + 2dyz + ey2 Ces formes se retrouvent dans l'étude d'équations diophantiennes, en

résultat est aujourd’hui plus connu sous le nom de loi de réciprocité quadratique de Gauss-Legendre. Il fallait initialement déterminer les résidus quadratiques d’un nombre premier impair p. Un résidu quadratique est le reste modulo p du carré d’un nombre entier. Ces derniers sont toujours au nombre de mais, en utilisant le petit théorème de Fermat, Euler donne un critère qui permet de tous les déterminer : un nombre b est résidu quadratique non nul modulo p si et seulement si b^.

fibre TU   or dans (S1 , x1 , y1 ) : (R 1  R)   y avec : y  0 L’allongement relatif d’une ligne située à l’ordonnée y de la surface neutre s’écrit alors: S 'U  yd  y e   Rd R TS ' Et la contrainte au point U obtenue par la loi de Hooke  = E e: y   E R R 0 (vecteur contrainte dirigé vers les x1positifs) y>0 Répartition des contraintes normales sur une section droite de la poutre y1 S1 x1 y1 Mz Plan de symétrie de la poutre Expression des contraintes

Diophante s'intéresse notamment aux problèmes suivants : Page 61 de l'édition de 1670 des Arithmetica de Diophante. Elle contient, en caractères d'imprimerie, la note de Pierre de Fermat à propos de son grand théorème. * résolution d'équations quadratiques (du type ax2 = bx + c). * détermination de valeurs faisant de 2 expressions linéaires des carrés (ex: trouver x tel que 10x+9 et 5x+4 sont tous deux des carrés). * décomposition d'un nombre en somme de 2 carrés. Il semble que Diophante

σ = F S La forme de la courbe " contrainte (σ)- allongement relatif (ε)" est donc identique, à celle enregistrée sur la machine de traction : σ σr B S σe A H O Figure 3.5 : Courbe σ = F(ε) ε ε La loi de proportionnalité entre la contrainte et l'allongement relatif est appelé loi de Hooke. Elle s'écrit : σ = E. ε 22 ENIM Résistance des matériaux 1 ( Pr B. NAJJI ) E : module d'élasticité longitudinale ou encore module de Young. unité : N/mm2 , MPa, N/m2 Ce module est une constante

la rupture Ry ε O Courbe caractéristique d’un matériau Ici, matériau « classique » type acier σ= F S σn = ENSM-SE RDM - CPMI 2011-2012 F S0 49 1 – Traction / compression Ch. 5 Les sollicitations simples Essai de traction, conclusion  Loi de Hooke (matériau élastique linéaire isotrope) Dans la zone élastique, on peut écrire une relation linéaire entre contrainte et déformation : E est le module d’Young, caractéristique du matériau Unité SI : Pa σ=Eε  Autre constat expérimental : Déformation

Sollicitations Structures isostatiques et hyperstatiques Principe des travaux virtuels Théorème de déplacement unité Théorème de la force unité Théorème de CASTIGLIANO Energie potentielle de déformation Principe du travail minimum Principe de réciprocité ou théorème de BETTI Théorème de MAXWELL IV – SYSTEME PLAN HYPERSTATIQUE Définition des degrés de liberté Poutres hyperstatiques Portiques hyperstatiques Treillis hyperstatiques V - METHODES GENERALES D’ETUDES DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Table des matières Chapitre 1 • THÉORIE DES POUTRES 1.1 Principes de base en résistance des matériaux © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 La notion de contrainte La déformation La loi de comportement Définitions et hypothèses en mécanique des structures Équations d’équilibre d’un élément de poutre Études des poutres sous diverses sollicitations 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 Lois de comportement généralisées pour les poutres

technique de décomposition en fractions continues et démontre l'infinité des solutions de l'équation de Pell-Fermat[19] . Legendre publie en 1798 sa Théorie des nombres qui rassemble un grand nombre de résultats d'arithmétique[20] .La loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler et Legendre ne sera démontrée que le siècle suivant. Durant ce siècle, les mathématiciens continuent de s'intéresser aux résolutions algébriques des équations. Le premier essai systématique sur la résolution des équations

0 ; 1 si f = 0 ; 0 si f < 0}. (2.12) 2.1.3 Quelques propriétés Nous avons une correspondance unique entre la fonction x(t), son développement en série de Fourier et par conséquent sa représentation spectrale X( f ). Nous écrirons donc cette réciprocité sous la forme : x(t) ←→ X( f ) a) Propriété de linéarité Étant donné x(t) ←→ X( f ) et y(t) ←→ Y( f ), nous avons : A · x(t) + B · y(t) ←→ A · X( f ) + B · Y( f ) S réel(f ) a0 0 F F F F avec A et B des constantes c1 c2 F0 2F0 cn fréquence