Matrice jacobienne

alors elles sont égales en ce point: 2f xixj (X) = 2f xjxi (X) 3 Matrice hessienne 3.1 Définition et notations Soit une fonction f de Rn dans R de classe au moins C2. Les dérivées secondes croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente. La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ..., xn) la matrice formée des dérivées secondes de f en X0. Cette matrice carrée et symétrique est notée en un point X0: Hf (X0) = D2f(X0) = 2f 2X

tn−1 2 . . .     ,    b=  tn−1 m b1 b2 . . . bm         et x =   α0 α1 . . .    .  αn−1 Le polynome de moindres carrés est unique parce que Am×n est une matrice de Vandermonde avec n ≤ m, et donc rank(A) = n. 3 1.3 Résolution numérique des équations normales – instabilités d’une résolution directe par élimination de Gauss et même par factorisation de Cholesky – QR (Householder) et SVD factorisations

graphique de la fonction, c’est-à-dire l’ensemble G = {(x, y, z = f (x, y)) : (x, y) ∈ Ê2 } est le plan d’équation z = 1, parallèle au plan de base (Oxy) (figure 1.1). Applications linéaires Soit une matrice A à p lignes et n colonnes et à coefficients réels (on note Mp,n (Ê) l’ensemble de ces matrices). On peut lui associer l’application dite linéaire, ou endomorphisme, définie dans les 1 2 z Chapitre 1. Fonctions de plusieurs variables y x Fig. 1.1 – Plan d’équation z = 1. bases

Cazenave Méthode des éléMents finis Approche pratique en mécanique des structures © Dunod, Paris, 2010 ISBN 978-2-10-055065-4 Table des maTières 1 • introduction 2 • rappels sur le calcul matriciel 2.1 2.2 2.3 Notion de matrice Opérations de base matrices carrées 1 3 3 4 7 3 • rappels sur la mécanique du solide 3.1 3.2 3.3 3.4 les contraintes les déformations relations entre contraintes et déformations Énergie de déformation élastique 15 15 19 22 27 4 • Principes de la

nouveaux concepts (dualit´, polynˆmes d’endomorphismes, e e e o valeurs propres et sous-espaces propres, r´duction des endomorphismes d’un espace vectoriel et des e MP 3 endomorphismes sym´triques d’un espace vectoriel euclidien, r´duction des matrices). Il comporte en outre e e quelques compl´ments d’alg`bre g´n´rale (arithm´tique, polynˆmes). e e e e e o d) Secteur de la g´om´trie et de ses interventions e e Une vision g´om´trique des probl`mes impr´gne l’ensemble du programme de math´matiques

Support du cours de Dr. Lara Thomas Polycopié initial élaboré par Prof. Eva Bayer Fluckiger Dr. Philippe Chabloz Septembre 2009 2 Table des matières 1 Systèmes d’équations linéaires et matrices 1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode

Contents 1 G´n´ralit´s e e e 1.1 Matrices et applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Le calcul matriciel par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le compl´ment de Schur ; ses factorisations associ´es e e 1.4 Les matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Noyaux, images et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Quelques aspects euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les matrices d´finies-positives (>>0) . . . . . . . . . . . e . . . . . .

Table des matières 1 Systèmes d'équations linéaires et matrices 1.1 1.2 Introduction aux systèmes d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.2.1 1.2.2 1.3 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorithme d'élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode de résolution d'un système d'équations linéaires

82 85 86 . 86 . 88 . 90 . 91 . 94 . 97 . 98 . 99 . 101 29 Espaces vectoriels 30 Applications linéaires 31 Espaces vectoriels de dimension finie 32 Applications linéaires en dimension finie 33 Matrices 34 Calcul matriciel 35 Équations linéaires 36 Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes caractéristique

Support du cours de Dr. Lara Thomas Polycopié initial élaboré par Prof. Eva Bayer Fluckiger Dr. Philippe Chabloz Septembre 2009 2 Table des matières 1 Systèmes d’équations linéaires et matrices 1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Elimination Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Méthode