Matrice

Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne

La construction de la pyramide a été en son temps l'objet de débats passionnés. Nombreux sont ceux qui trouvent que cet édifice futuriste et d'un style international que certains qualifient de « passe-partout » est hors du contexte classique du Louvre. La pyramide empêche de voir le bâtiment d'origine dans sa totalité à partir de la Cour Napoléon ou de l'Arc de triomphe du Carrousel. Quand le projet a été conçu et rendu public suite à l'audition de Pei devant la Commission nationale des monuments

commutent si et seulement si a ∈ Kerψ et b ∈ Ker φ. En donner une caractérisation en fonction des hyperplans et des droites de t et de s. III Partie II 1. Soit u une involution de E. 1a. Montrer que Ker(u − id E ) ⊕ Ker(u + id E ) = E. 1b. Écrire la matrice de u dans une base adaptée à cette somme directe et en déduire det(u) en fonction de d = dim Ker(u − id). 1c. Montrer que Im(u + id E ) = Ker(u − id E ). On dit que u est une involution minimale si Ker(u − id E ) est de dimension 1. 2. 2a. Montrer

0,5 ; t=(1:0.5:10)’; 2. Créer une matrice A dont les colonnes sont t, t2 , t3 et t4 ; A=[t t.^2 t.^3 t.^4]; 3. Ajouter une colonne qui vaut 1 lorsque t > 5, 0 le reste du temps ; A(:,5)=t>5; 4. Ajouter une colonne qui vaut 5 lorsque t est entier, 0 le reste du temps. % l’une des trois lignes au choix A(:,6)=(fix(t)==t)*5; A(:,6)=(rem(t,1)==0)*5; A(:,6)=(mod(t,1)==0)*5; 3 Exercice 4 : 1. Créer une fonction t=matrace(A) : – qui calcule la trace d’une matrice A si A est carré ; – qui sort la valeur

en analyse numérique Sébastien Charnoz & Adrian Daerr Université Paris 7 Denis Diderot CEA Saclay En analyse numérique, un certain nombre de calculs sont faits de manière répétitive. Exemple : Résoudre un système linéaire, Inverser une matrice, Calculer le déterminant, valeurs propres, vecteurs propres Interpoler une fonction Extrapoler une fonction Décomposer une fonction sur une base de fonctions (ex: TF) « fitter » des points de mesure avec des fonctions connues Etc… Des algorithmes

Analyse de données Course plan Louvain School of Statistics, Biostatistics and Actuarial Science Université catholique de Louvain 2011–2012 LSBA (UCL) LSTAT2110 - Course plan 2011–2012 1/7 Equipe Cours magistraux Johan Segers ISBA, Voie du Roman Pays 20, 1348 LLN, d.118 johan.segers@uclouvain.be Réception sur rendez-vous Sarah Gengler Cédric Taverne TP AGRO TP STAT/ACTU LSBA (UCL) LSTAT2110 - Course plan 2011–2012 2/7 Ressources Volume horaire:

Travaux Dirigés Mathématiques – S3 Algèbre linéaire & Calcul Matriciel Partie 1 Exercice 3 Exercice 3 L’espace vectoriel considéré dans cet exercice est : E 3 = IR Exercice 3 1) Soit u un vecteur de forme : F1 , u est de la u(x,y,z) avec : 2x  yz 0  z 2x  y Exercice 3 1) Un vecteur u de F peut donc s’écrire : 1 u (x,y,2x  y) On peut décomposer u de la manière suivante : u (x,0,2x)(0,y,y) Donc : u  x(1,0,2) y(0,1,1) xV1

maths Niveau:MP 2009-2010 1. V´rifier que φ une forme lin´aire continue et calculer sa norme subordonn´e e e e 2. Montrer que |||φ||| n’est pas atteinte Exercice 7 : Soit A ∈ Mp (R). On suppose que la suite de matrices : An = I + A + A2 + · · · + An converge vers une matrice B. Montrer que I − A est inversible, et B = (I − A)−1 . Exercice 8 :On munit Mn (R) d’une norme subordonn´e||.|| , soit A, M ∈ (Mn (R))2 e 1 −1 1. Si||A|| < 1 alors In + A est inversible et ||(I + A) || 1 − ||A|| 1 2.

vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de l'espace vectoriel. La matrice est alors appelée matrice de passage de la base à la base 2. Rôle de Reprenons l'exemple précédent. La matrice est inversible et l'on a

x z y t AQ = QD ⇔ ⇔        z = λ1 x t = λ2 y x y . Le déterminant d’une telle matrice λ1 x λ 2 y est xy(λ2 − λ1 ). Puisque λ1 − λ2 = 0, ce déterminant est nul si et seulement si xy = 0. Par suite, Q est inversible si et seulement si x = 0 et y = 0. Les matrices Q telles que AQ = QD sont les matrices de la forme Les matrices Q ∈ G L n (C) telles que AQ = QD sont les matrices de la forme x λ1 x y λ2 y , (x, y) ∈ (C∗ )2 . http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget