Morphisme

faut savoir Polynômes d’endomorphismes Soit u ∈ L(E). n • À tout polynôme P = k=0 n ak X k ∈ K[X ], on associe l’endomorphisme de E, P(u) = k=0 ak u k (avec la convention u 0 = Id E ). • L’application wu : K[X ] −→ L(E) est un morphisme de K-algèbre. On P −→ P(u) retiendra en particulier : ∀ (P, Q) ∈ K [X ]2 , (P Q) (u) = P (u) ◦ Q (u) = Q (u) ◦ P (u) . 5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation Attention ◦ Lorsque P = 1, on a P(u) = Id E . Lorsque P = X , on a P(u)

U (t)ψ in ∈ H s (RN ) est continue et, pour tout t ∈ R, on a 2 ˆ U (t)ψ in = e− 2 it|ξ| ψ in . 1 La famille d’applications lin´aires e 2 it∆ est appel´e “groupe de Schr¨dinger e e o libre” : en effet, la propri´t´ a) montre que U et un morphisme de groupe de R ee additif dans le groupe des ´l´ments inversibles de L(H s (RN )) — l’alg`bre des ee e endomorphismes continus sur H s (RN ). (Rappelons que l’ensemble des ´l´ments ee inversibles de L(H s (RN )) muni de la composition des endomorphismes

l’´quivalence de e e Nerode est l’´galit´, α est une bijection. Par ailleurs, α(i) = Li = X, et t ∈ T si e e et seulement si 1 ∈ Lt (A), donc si et seulement si Lt (A) est ´tat final de A(X). e Enfin, on a Lq·a (A) = Lq (A) · a montrant que α est bien un morphisme. De cette propri´t´, on d´duit une cons´quence importante : ee e e Th´or`me 5.8. L’automate minimal d’un langage X est l’automate ayant le e e moins d’´tats parmi les automates d´terministes complets qui reconnaissent X. e e Il est unique a un isomorphisme