Morphisme

de ce système à coefficients entiers donne à l’ordre près : a, b, c, d = ±1, 0, 0, 0. Posons J la matrice obtenue pour a = c = d = 0 et b = 1. On vérifie J 4 = I4 . L’application ϕ : U2 × Z/4Z → G définie par ϕ(ε, n) = εJ n est bien définie, c’est un morphisme de groupe, injectif et surjectif. Ainsi G est isomorphe à U2 × Z/4Z ou plus élégamment à Z/2Z × Z/4Z. Notons C1 , . . . , Cn les colonnes de B et B = (E1 , . . . , En ) la base canonique de l’espace Mn,1 (K). On a det(B + J1 ) = det(C1 + E1 ,

pour limite 0. ˜ 3.1. Vérifier que cette relation est une relation d’équivalence sur C. On note C = C/R et ˜ π : C → C la surjection canonique. ˜ 3.2. Vérifier que C = C/R hérite d’une structure naturelle d’anneau commutatif pour laquelle π est un morphisme d’anneaux. ˜ 4. On veut montrer que C est un corps, c’est-à-dire que tout élément non nul est inversible. ˜ ˜ Soit donc u = π(u) un élément non nul de C. 4.1. Montrer que si une suite de Cauchy ne tend pas vers zéro, seul un nombre fini de ses termes

Guide de la modélisation UML Chevale Attributs 103 Héritage multiple Animal Attributs A_terreste Attributs A_aquatique Attributs Tortue Attributs Guide de la modélisation UML 104 Polymorphisme Grèc --> Poly : différents; morphisme : forme  Le concept qui fournit la possibilité d’utiliser la même méthode dans un programme, mais avec des traitements différents, grâce à l’héritage et la redéfinition de la méthode polymorphe dans les classes dérivées Guide de la modélisation

Montrer que vect(A ∪ B) = vect(A) + vect(B). 15 2 . Espace vectoriel 2.5 Applications linéaires 2.5.1 Définitions Définition 2.25. Soient (E, +, .) et (F, .+) deux K-espaces vectoriels. On dit que f : E → F est linéaire (ou est un morphisme d’espace vectoriel) si : (1) ∀x, y ∈ E, on a f (x + y) = f (x) + f (y) ; (2) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, on a f (λx) = λf (x). On note L(E, F ) l’ensemble des applications de E dans F . Proposition 2.26. [Caractérisation usuelle des applications linéaires]

vectoriel E. Montrer que vect(A ∪ B) = vect(A) + vect(B). 15 2 . Espace vectoriel 2.5 Applications linéaires 2.5.1 Définitions Définition 2.25. Soient (E, +, .) et (F, .+) deux K-espaces vectoriels. On dit que f : E → F est linéaire (ou est un morphisme d’espace vectoriel) si : (1) ∀x, y ∈ E, on a f (x + y) = f (x) + f (y) ; (2) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, on a f (λx) = λf (x). On note L(E, F ) l’ensemble des applications de E dans F . Proposition 2.26. [Caractérisation usuelle des applications linéaires] :

equivalent knots—why? 10. Graph of a hyperbola Chapter 10. A chaotic end? 1. A ‘half-line angle’ 2. Trigonometric functions from Bourbaki 3. The ‘butterfly effect’ (Lorenz) 4. ‘Douady’s rabbit’ 5. The Smale horseshoe map 6. A string worldsheet, or morphism 7. The classical helium atom 8. Elliptic curve (real version) 9. Torus, or complex points on a projective elliptic curve Picture Credits The author thanks the following for permission to reproduce figures and illustrations in this text: The Schøyen

expression. Le syst`me est alors r´solu de proche e e e e en proche en remontant de la derni`re ` la premi`re ´quation. e a e e La solution du syst`me (S) est X = P Y . e 6.7 Polynˆmes d’endomorphismes o p X i=0 A un polynˆme P (x) = o morphismes : ai xi ` coefficients dans IK, on peut associer le polynˆme d’endoa o p X i=0 P (u) = ai ui o` ui = u ◦ u ◦ · · · ◦ u i fois. u p X i=0 Remarque 6.7.1 Si A est la matrice de u dans une base B de E, alors P (A) = est la matrice de P

31  0 1 1 M = 0 1 0  1 0 0  Quels sont les sous-espaces vectoriels de R3 stables par M ? MINES 32 Dans (R3 , , ) soit r une rotation vectorielle et s une r´flexion. Que peut-on dire de s ◦ r ◦ s? e MINES 33 D´terminer tous les morphismes de groupe de Sn dans (−1,1) e MINES 34 Soit E un ev de dimension n et H1 , l dots, Hn des hyperplans de E tels que de E 1. Montrer que ∀f ∈ [|1; n| , dim( k n k=1 Hk = {0E }. Soit f un endomorphisme i=1 )Hi n−k 2. On suppose

d'endomorphismes nilpotents de E qui commutent deux a deux. Montrer n Y que ui = 0. 174. (a) Un element d'un sous-groupe ni7 de GLn (C ) est-il diagonalisable ? (b) Soient G un groupe ni, E un C -espace vectoriel de dimension nie. f : G ?! GL(E ) un morphisme de groupe. Soit a 2 G on pose : (a) = tr(f (a)). Montrer : 8a 2 G : (a?1) = (a) Diagonalisabilite de f (a) ? 7 Voir l'exercice numero 1 d'algebre generale. L i=1 i=1 115 175. Soit A 2 M2(Z). On suppose qu'il existe k 2 N = Ak = I2.

∈ E. P (σ)P (σ ) = P (σ ◦ σ ) ∈ E et P (σ)P (σ −1 ) = P (σ ◦ σ −1 ) = P (Id) = In donc P (σ) ∈ GLn (R) et P (σ)−1 = P (σ −1 ) ∈ E. On peut alors conclure que E est un sous-groupe de GLn (R). L’application P : Sn → E qui à σ associe P (σ) est un morphisme de groupe surjectif. Soit σ ∈ ker P , on a P (σ) = In donc ∀1 j n, σ(j) = j soit σ = Id. c) t P (σ) = (δj,σ(i) )i,j = (δσ−1 (j),i )i,j = (δi,σ−1 (j) )i,j = P (σ −1 ) Exercice 38 : [énoncé] a) E = Vect(I, J) avec J= 1 −1 1 −1 Diffusion autorisée