Nombre rationnel

2005 16 17 18 19 20 21 22 France Antilles-Guyane Centres étrangers La Réunion Liban Polynésie Inde sept 2005 juin 2005 juin 2005 juin 2005 juin 2005 juin 2005 Avril 2005 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Congruences ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ PGCD PPCM Nombres premiers Équations de Diophante ⋆ Géométrie Session 2009 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Nouvelle-Calédonie France / La Réunion Amérique du Nord Asie France Liban Antilles-Guyane Asie Nouvelle-Calédonie Liban Polynésie Nouvelle-Calédonie Amérique

préoccupe que du classement établi entre les paniers de biens, on dit que l’utilité est un concept ordinal. Une transformation monotone est habituellement représentée par une fonction f(u) qui transforme chaque nombre u en un autre nombre f(u) de telle sorte que le classement entre les nombres soit respecté, c'est-à-dire que u1>u2 implique f (u1)>f (u2). Une transformation monotone et une fonction monotone sont des concepts équivalents. Dans certaines approches, on parle de théories de l’utilité

difficile de montrer que e √ 2+ √ 3+ √ 5 est irrationnel. On se propose ici de g´n´raliser consid´rablement ce genre de r´sultat. e e e e Pour cela, il est important de se munir de notations commodes. – On note P l’ensemble des nombres premiers. – Pour toute partie finie A de P, on note ΠA la racine carr´e du produit des ´l´ments p de A. e ee √ √ Par exemple, si A = {2, 5, 17}, alors ΠA = 2 · 5 · 17 = 170. Par convention Π∅ = 1. Il est clair que si A et B sont deux parties

un « caractère scientifique ». L’auteur explique ensuite que l’économie a appliqué la statistique, son « outil principal », à l’Histoire et à la politique. Cependant, il précise que « les lois de la statistique ne sont valables que pour les grands nombres ou les longues périodes » et que la statistique est justifiée par la rareté des évènements et des grandes actions « dans la vie quotidienne et dans l’Histoire ». Le problème, c’est que la statistique ne prend en compte que peu des évènements ou des

e´ l´ements en les r´eorganisant : >>a=3.23 Les scalaires sont tous a priori des r´eels (pas de distinction explicite entre nombres entiers et nombres r´eels) mais peuvent eˆ tre complexes : ou >>z=2.1+44.9j >>z=2.1+44.9*i >>z=2.1+44.9i ou Certaines lettres ou chaˆınes de caract`eres sont pr´ed´efinies : ☎ ✆ >> A([2 1],1:3) ans = 4 5 1 2 i et j correspondent au nombre imaginaire : 1 eps est un r´eel approchant l’ordre des erreurs de calcul sous M ATLAB 6 3 pi, c’est π   ✞ ✟ ✝ e permet

de chaînes de caractères, et de les afficher à l'écran. Sur un système d'exploitation GNU, expr fait partie du paquet coreutils. Chaque élément minimal de l'expression doit être fourni comme argument indépendant. Les opérandes peuvent être des nombres ou des chaînes de caractères. Les chaînes n'ont pas besoin d'être encadrées pour expr, mais il est généralement nécessaire de le faire pour les protéger du shell. expr transforme tout argument apparaissant en position d'opérande en un entier, ou

Graphes et Recherche Op´rationnelle e ESIAL 2`me ann´e e e Notes de cours de J.-F. Scheid 2010-2011 2 Table des mati`res e 1 Introduction g´n´rale e e 1.1 Quelques exemples et domaines d’applications 1.2 Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Contenu du cours . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 El´ments de bibliographie . . . . . . . . . . . e 5 5 8 8 8 11 11 11 12 13 13 13 13 14 14 16 17 17 19 20 25 27 28 28 29 30 30 31 33 de la R.O. . . . . . . . . . . . . . . .

en extension de l’ensemble des entiers pairs. a) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble {1, 3, 5, 7, . . .}. b) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble {1, 10, 100, 1000, . . .}. c) Décrire en extension l’ensemble des nombres rationnels. d) Décrire en compréhension l’ensemble ]0, 1]. e) Décrire en compréhension et en extension l’ensemble des valeurs prises par une fonction f : R → R. f) Décrire en compréhension l’ensemble des antécédents d’un réel y par une fonction f : R →

−2 ; 0 ; 6}. Exercice 3 : Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en utilisant l’algorithme d’Euclide. Correction Avec l’aide de Maple on a immédiatement : > ifactor(1640); ifactor(492); ( 2 ) 3 ( 5 ) ( 41 ) ( 2 ) 2 ( 3 ) ( 41 ) et le PGCD : 22.41 = 164 . Avec Euclide : 1640 = 492 × 3 + 164 492 = 164 × 3 + 0 donc… Exercice 4 : Quel est le reste de la division par 7 du nombre (32)45 Correction Le reste de 32 dans la division

. . . 2.3 Exercices suppl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 R´ evision des concepts de base 3.1 Les nombres r´eels et leurs propri´et´es . . . . . . . . . . . 3.1.1 Les puissances et les racines . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Les in´egalit´es et la valeur absolue . . . . . . . . . 3.2 Les polynˆomes et la factorisation . . . . . . . . . . . . . 3.2.1