Série dérivée

tracé des courbes ne sont pas demandés. 3 Exercice 4 ( 11 points) On considère dans R la fonction définie par : h (x) = a) x1 x 2 4 Donner l'ensemble de définition de cette fonction. b)  x 2  2x  4 Montrer que la fonction dérivée première est : h ‘ (x ) = 2  x 2 4     c) Compléter le tableau de variation de la fonction (aucune justification n'est ici demandée) : x h ' (x) - +  h (x) 4 Exercice 4 ( suite) d) Etudier la nature des branches

Corrigé du test Ch 8 : Equations différentielles Modèles d’évolution Exercice 1 (4 points) Les quatre questions sont indépendantes. 1) Déterminer les solutions de l’équation différentielle : 3 y’ – 2 y = 0 : L’équation s’écrit : y’ = y . Les solutions sont les fonctions : x Ce avec C constante. (0,5 pt) 2) Déterminer la fonction f solution de l’équation différentielle y’ + 5 y = 0 telle que la courbe représentative de f passe par le point A(

MATHEMATIQUES – CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N°6 EXERCICE 1 a) Soit le trinôme ² + 5 + 4 . =1; =5; =4. ►Calcul du discriminant ∆ : ∆= ²−4 ∆ = 5² − 4 × 1 × 4 ∆ = 25 − 16 ∆= ∆ > 0 ; le trinôme ² + + admet donc deux racines distinctes. ►Calcul des racines du trinôme : = = = = = = − ►Signe × √∆ √ SECOND DEGRE-DERIVATION = = = = = = − × √∆ √ racines et du signe de – , c’est-à-dire strictement négatif à l’intérieur de ses racines. D’où, le tableau de signes du trinôme ² + 5 + 4 : Signe de

TT sur les bactéries I. Introduction Aujourd’hui, l’industrie agro-alimentaire prend une place importante dans la vie de tous les jours. Les clients demandent une qualité toujours plus grande pour leurs produits et les entreprises cherchent à innover un maximum pour les satisfaire. De nombreux débats ont eu lieu, ces derniers temps, concernant la conservation des aliments. Celle-ci, pour se faire dans des conditions optimales, doit être rigoureusement contrôlée. Il est vrai qu’un produit frais

correction du DS. LIMITES – CONTINUITE - DERIVABILITE (1h) Exercice 1. (4 points) 1X4 Exercice 2. (11 points) Considérons la fonction f définie sur I = [!1;1] par f ( x) = (1 ! x) 1 ! x 2 . 1) Dérivabilité de f sur ]!1;1[ . 0,5 2) Calcul de la dérivée f ' de f sur ]!1;1[ . 1,5 3) a) Dérivabilité de f en 1. f ( x) " f (a) existe et est finie. x"a f est dérivable en a si lim x!a 1/3 2 b) Interprétation graphique. Le nombre dérivé f '(1) , lorsqu’il existe, est le coefficient directeur

Analyse des résultats Nous pouvons remarquer plusieurs choses en analysant chaque graphique. Parlons d'abord du graphique v(t): Ce graphique est linéaire. Ce graphique confirme une des formules liée au Mouvement Uniformément Accéléré (M.U.A.), v(t) = at + v0 . Nous pouvons relier cette formule à y = ax + b . En effet, v représente y, a représente l'accélération et la pente, x le temps et b (v0) l'ordonnée à l'origine. Ensuite, nous pouvons parler du graphique v(d): Le graphique

. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Interprétation graphique . . . . . . 2.2.2 Interprétation numérique . . . . . 2.2.3 Interprétation cinématique . . . . 2.3 Signe de la dérivée, sens de variation . . . 2.4 Dérivée et extremum local . . . . . . . . . 2.5 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . 2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires 2.5.2 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lycée Cité Errafeha M’nihla Prof : ADEL—KHLAIFI Série n°24: Equations différentielles Mathématiques Niveau : 4ème M. 2013— 2014 Exercice n°1 : Soit l’équation différentielle  E : y " 4y  0.  1. Déterminer les solutions f et g de l’équation E , telles que : f (0)  5 et f '(0)  0; g(0)  0 et g'(0)  8. 2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par  C l’ensemble de points M  x, y  tels que : x  f(t)  où t décrit  . Quelle est la nature de l’ensemble

appartenant à I. On dit que f est dérivable en a si la limite lorsque h tend vers 0 du quotient f ah− f a existe et est finie. Cette limite se note f ' a et s'appelle le nombre dérivé h de f en a. Remarque : on utilise cette méthode pour calculer la dérivée des fonctions usuelles. Dans la pratique, elle est peu employée sauf dans des exercices théoriques ou si c'est explicitement précisé dans l'énoncé. Exemple : En revenant à la définition du nombre dérivé, calculer f ' 2 où f est la fonction définie

Etude d’une fonction 1. 1.a 1.b Soit f l’application de ℝ ∗ dans ℝ définie par : ∀t ≠ 0, f (t ) = Justifier que f est continue et paire. Former le développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t