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Régression linéaire et non linéaire Mark Asch Septembre 2010 TADE - EDSS, UPJV 2010-11 1 1.1 Régression linéaire La droite de moindres carrés Le problème suivant est souvent rencontré dans tous les domaines où des mathématiques sont appliquées. Pour des points discrets ti (souvent des instants de temps), des observations bi d’un phénomène quelconque sont faites, et les résultats sont enrégistrés comme un ensemble de couples D = {(t1 , b1 ), (t2 , b2 ), ..., (tm , bm )} . Sur la

7-Jun-2011/18:10 Avant-propos Lorsqu'on m'a demandé si je voulais assurer le cours d'économétrie en Licence L3-IDS (http://dis. univ-lyon2.fr/), j'ai ressenti une grande joie mais aussi une certaine inquiétude. D'une part une grande joie car c'est à travers l'économétrie que je suis venu au traitement statistique des données. Lorsque j'ai vu un nuage de point avec une forme plus ou moins armée, et que j'ai compris qu'on pouvait en déduire une liaison fonctionnelle représentée par une

Validation du modèle : Le vérifier dans sa globalité, Coefficient de Détermination avec ANOVA. 3- Estimation des paramètres : Estimer le modèle théorique par le modèle empirique par la méthode des moindres carrés . (Construire d’une droite de régression empirique qui minimise la somme des carrés de l’écart empirique (résidu)). 4- Test d’hypothèse : Pour vérifier l’influence de X, on procède à un test d’hypothèse sur , opter pour des extrapolations. Il existe 3 mesures possibles pour

nuage de points associé à la série  xi , yi  2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Interpréter le résultat 3. Déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés et la tracer sur le graphique précédent (les coefficients seront arrondis à l’unité). 4. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d’adhérents en 2009. PARTIE B : un ajustement exponentiel

des techniques d’analyse des données non adaptées aux modèles statistiques linéaires classiques. Il contient des procédures pour les modèles de choix binaire, la régression logistique, la pondération estimée, la régression par les doubles moindres carrés et la régression non linéaire générale. Amos™ (analyse de structures de moments) utilise la modélisation d’équation structurelle pour confirmer et expliquer des modèles conceptuels qui impliquent l’attitude, les perceptions et d’autres facteurs qui

courbe ». Pour éliminer les dents de scie de la courbe observée, on peut procéder à plusieurs types d’ajustement. Ajustement linéaire On considère que la tendance est ajustée à un modèle linéaire. Tt = at + b On applique la méthode des moindres carrés pour le calcul de la droite d’ajustement. Figure: Trend linéaire Exemple sur les (Ventes trimestrielles) L’équation de la tendance : Tt = at +b a Tt = 10,447t +238,200 avec sa pente : a = 10,44 et son ordonnée à l’origine : b = 238

nres) (dont rev et cigs sont donc les endogènes). Estimer l’équation 6 par les mco et commenter les résultats obtenus. La méthode est–elle adaptée ? 11° Examiner l’identifiabilité des deux équations. 12° Réestimer l'équation 6 par les doubles moindres carrés en utilisant comme instruments l’ensemble des exogènes : educ, pcig, age, nres et age2. Commenter les résultats et les comparer à ceux de la question 10°. (eq.6) (eq.7) (eq.5) 3 3 4 13° À quel âge – toutes choses égales par ailleurs - le

Donc le taux le taux d’évolution moyen du nombre d’appareils au bois entre 2001 et 2005 est Soit en pourcentage : .7 Partie B 1.à l’aide de la calculatrice , équation de la droite ( D ) d’ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est 2. Voir graphique page suivante . 3. Par le calcul, on résout l’équation pour . Soit . à l’aide du graphique , on trace en pointillé la droite d’équation et on constate l’ordonnée du point d’intersection avec la droite (D) est égale à 491

précédent, déterminer en quelle année le pourcentage de salariés travaillant à temps partiel par rapport au total des salariés sera d’au moins 20 % ? 10°) Avec votre calculette trouver l’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y en x. On donnera les résultats à 0,01près. Comparer avec 5°). IV ( 5 points) Partie A : Étude de deux fonctions 1°) Soit f la fonction définie sur [0,4] par : f ( x) = 3 + ln(2 x + 2) . 1 . En déduire le signe de f '( x) .Etablir le tableau

MV λw MV λb MV (y − X aMV ) W (y − X aMV ) MV ) L'estimateur des moindres carrés généralisés a a a MCG Ω− 1 MCG X Ω− X − X Ω− y − = λw W + λ− B b − = X (W + θ B ) X X (W + θ B ) y = 1 1 1 1 1 1 MCG X )− X y zit = (zit − z i ) + θ z i = zit − (1− θ )z i λw = σv et λb = (T σµ + σv ) θ = 0 ⇐⇒ σv = 0 θ = 1 ⇐⇒ σv → ∞ 1 2 2 2 2 2 θ = λw /λb = (X L'estimateur des moindres carrés quasi généralisés a MCQG = (X X )− 1 X y θ z i = zit − (1− θ )z i