Théorème spectral

n √ √ 1+ 5 1− 5 |x0 − ϕ| = 1 − = 2 2 ¶ On a aussi, puisque √ 5 2, √ 1+ 5 ϕ= 2 1+2 3 = 2 2 n 1 ¶ Finalement on a, pour tout n ∈ Æ, |xn − ϕ| |x0 − ϕ| ϕn 1 3 2 n = 2 3 b. En déduire la limite de la suite (xn ). Le théorème des gendarme nous assure alors que lim |xn − ϕ| = 0. On en déduit que lim xn = ϕ. n→+∞ n→+∞ On a donc, pour tout n ∈ Æ, 0 |xn − ϕ| 2 n 3 avec lim n→+∞ 2 n 3 = 0. Lycée Henri Meck, Molsheim. MF -6- Dernière modification

démontrés et supposés vrais. S’ils sont faux, toute la théorie s’écroule. De plus, une théorie ne rend pas forcément compte de toutes les vérités. Et les mathématiques, source de vérité immuable pour Descartes, n’échappent pas à cette réalité. Ainsi le théorème d’incomplétude de Gödel stipule que dans toute axiomatique raisonnable qui ne contient que les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent être démontrées alors qu’elles sont vraies. Prenons l’exemple de l’axiome du choix, indémontrable

X )) = n! n On a donc : Et d'après la formule d'inversion de Pascal : n! = k =0 k Cn d k dn = n k =0 k Cn ( −1) n − k k ! = n! n ( −1) n − k ( −1) k = n! (n − k )! k! k =0 k =0 n Ce résultat a pour conséquence un curieux théorème dit "des chapeaux" (d'autres versions existent) : n invités laissent leur chapeau au vestiaire et repartent en prenant un chapeau au hasard. La probabilité pn qu'ils repartent tous avec un chapeau ne leur appartenant pas est : pn = dn = n!

→ 1) Calculer mes( BA ; BC ) arrondi au degré près . 2) Calculer BH BA → Méthode : 1) Calculer →. BC à l’aide de A2 et A4, et en déduire mes( BA ; BC ) 2) Calculer BA . BC à l’aide de A1. → → → → 2 Propriétés du produit scalaire Théorème A1 Pour tous vecteurs u , v , w , t du plan et pour tout réels a et b, on a :  →  →  →  → • (a u ). v = a u . v →  →  →   → →  → → • u .( v + w ) = u . v + u . w  →  →  →  → • a u . b v = ab u . v → →  →  →   → →  → →

La dimensione pittorica nell’opera cinematografica di Pasolini La pittura nel cinema : un procedimento esperimentato da parecchi registi come Godard, Hitchcock, Pialat, Antonioni o ancora Webber. Noi ci concentreremo più particolarmente su Pier Paolo Pasolini. Pasolini che nasce nel 1922 a Bologna e muore nel 1975 a Roma è stato uno scrittore, poeta, regista ma anche pittore. Attraverso le sue opere, osserva la trasformazione sociale e prende posizione contro la piccola borghesia, la società

pour minimum m. Or, m > 0. Donc, pour tout réel x, φ(x) > 0. Question 2c. Sur [1 ; 2], la fonction φ est continue et strictement croissante. De plus, φ(1) = (2×1 – 1)+ 4 = 5 < 6 et φ(2) = (2×2 – 1)+ 4 = 3e + 4 > 6. Donc, d’après le théorème de la bijection, l’équation φ(x) = 6 admet une unique solution réelle α sur l’intervalle [1 ; 2]. En utilisant les tables de valeurs de la calculatrice, on obtient : 1,2 < α < 1,3. Partie C Question 1. On a : F(x) = u(x)×v(x) + w(x) avec

cette inégalité à X = x n ∈ ℝ + , il vient ln(1 + x n ) ≤ x n 3c. Comme l’intégration conserve l’ordre, on a par intégration I n ≤ ∫0 x n dx ⇔ I n ≤ [ 1 x n +1 1 1 ]0 ⇔ I n ≤ . n +1 n +1 n →+∞ La suite étant déjà convergente, minorée par 0 le théorème des gendarmes nous permet de conclure que lim I n = 0 . D.Pinel, http://mathemitec.free.fr/ EXERCICE 2 1. La droite D est parallèle au plan P si son vecteur directeur (à D) est orthogonal au vecteur normal de P. 1  1  1  1 

La notion de faute Intro Etre responsable, c’est répondre de ces actes. Dans les régimes ancestraux, responsabilité privée. Par la suite, et au fur et à mesure que vont se développer les institutions politiques, corollaire de l’émergence de la vie en société, va apparaitre un système judiciaire organisé gérée par l’Etat. On sera alors responsable dès lors que l’on devra comparaitre devant le juge au sujet d’un dommage causé à autrui. Mais quel était, traditionnellement, le support matériel

]0, 1[) : x Î ]-¥, 0[ Þ x < 0 Þ j(x) > j(0) Þ j(x) > 0 Þ j(x) ¹ 0 x = 0 Þ j(x) = 0 x Î ]0, 1[ Þ 0 < x < 1 Þ j(0) < j(x) < j(1) Þ 0 < j(x) Þ j(x) ¹ 0 La seule solution de l'équation j(x) = 0 sur ]-¥, 1[ est bien x = 0. Sur [1, +¥[, on applique le théorème de bijection : · j est continue (car dérivable) sur [1, +¥[. · j est strictement décroissante sur [1, +¥[ · j(1) = 3e-1 - 1 > 0 (car 3 > e) et lim j(x) = -1 < 0 x ® +¥ En conséquence, il existe un unique réel a dans [1, +¥[ tel que j(a) = 0 En

a et b c’est décider si Cela revient à étudier le signe de a – b. En effet a – b > 0 équivaut à a > b a – b < 0 équivaut à a < b a – b = 0 équivaut à a = b Théorème : Soient a, b et c trois réels quelconques. Si a < b et b < c alors a < c dem : Exemple : 10212 442311 < 10213 442310 pour x strictement positif : x+1 x et x+1 x ab a=b Théorème : (ordre et addition) : Soient a, b, c et d des réels quelconques. • Si a < b alors a + c < b + c (on peut ajouter un même nombre aux deux membres d’une inégalité