BAC S 2004 PONDICHÉRY - CORRIGÉ

Exercice 1 (3 points) 1. a) On a : u1 = u2 = u3 = b) On a : 1 1 = 2 - u0 2 2 1 = 2 - u1 3 1 3 = 2 - u2 4 w0 = 0 w1 = w2 = w3 = Les suites u et w coïncident pour n = 0, 1, 2, 3. c) On considère la propriété Ã définie pour n Î  par : Ã(n) : un = wn · La propriété Ã est initialisée (au rang 0) d'après la question 1.b) · Soit n un certain entier et supposons Ã(n). On a alors : un+1 = 1 Ã( n ) 1 1 n +1 n +1 = = = = = wn+1 n 2 - un 2 - wn 2 2(n + 1) - n n + 2 n +1 1 2 2 3 3 4

D'où Ã(n + 1). La propriété Ã est donc héréditaire. Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit que la propriété Ã est vraie pour tout entier n. C'est-à-dire, pour tout n Î  : 2. a) On a : v1 + v2 + v3 = ln un = wn 1 1 2 3 1 2 3 + ln + ln = ln æ ´ ´ ö = ln = -ln 4 ç ÷ 2 3 4 4 è2 3 4ø

b) Faisons un calcul direct : Sn =

å k =1

n

vk =

å

k ö ln æ ç ÷= è k +1ø k =1

n

å ( ln k - ln(k + 1) ) = k =1

n

å k =1

n

ln k -

å ln(k + 1) k =1

n

Et par télescopie : Sn = -ln(n + 1) Autre méthode : on pouvait conjecturer le résultat ci-dessus grâce au calcul réalisé dans la question 2.a) puis faire le raisonnement par récurrence suivant : On considère la propriété Ã définie pour n Î  par : Ã(n) : Sn = -ln(n + 1)
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· La propriété Ã est initialisée (au rang 1) car S1 = v1 = -ln 2. · Soit n un certain entier supérieur ou égal à 1 et supposons Ã(n). On a alors :
Ã( n ) n +1 ö Sn+1 = Sn + vn+1 = -ln(n + 1) + ln æ ç ÷ = -ln(n + 2) èn+2ø

D'où Ã(n + 1). La propriété Ã est donc héréditaire. On en déduit que la propriété Ã est vraie pour tout entier n  1. C'est-à-dire, pour tout n Î  : Enfin, on a : D'où : Sn = -ln(n + 1) lim ln(n + 1) = +¥ n®+¥ n®+¥

lim Sn = -¥

Exercice 2 (4 points) L'urne U1 contient trois boules noires et donc k - 3 boules blanches. L'urne U2 contient deux boules noires et donc k - 2 boules blanches. L'urne U3 contient une