Wallis Simpson

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Fonction C ∞ à support compact Soit f : R+ → R de classe C ∞ telle que f (0) = 1, et : ∀ x 1. Montrer que sup f (n) 2n n!. R+ 2. Montrer que pour n 1, sup f (n) > 2n n!. R+ 172 1 2, f (x) = 0. Correction [004007] Exercice 4008 Formule de Simpson 1. Soit f : R → R de classe C 5 , impaire, telle que f (0) = 0 et : ∀ x ∈ R, | f (5) (x)| M. λ M|x5 |. Montrer qu’il existe une constante λ telle que : ∀ x ∈ R, f (x) − 3x f (x) 2. Soit f : [a, b] → R de classe C 5 telle que : f (a) = f (b) = f a+b

4007 Fonction C ∞ à support compact 1 Soit f : R+ → R de classe C ∞ telle que f (0) = 1, et : ∀ x ≥ 2 , f (x) = 0. 1. Montrer que sup f (n) ≥ 2n n!. R+ 2. Montrer que pour n ≥ 1, sup f (n) > 2n n!. R+ Correction Exercice 4008 Formule de Simpson 1. Soit f : R → R de classe C 5 , impaire, telle que f (0) = 0 et : ∀ x ∈ R, | f (5) (x)| ≤ M. x Montrer qu’il existe une constante λ telle que : ∀ x ∈ R, f (x) − 3 f (x) ≤ λ M|x5 |. 2. Soit f : [a, b] → R de classe C 5 telle que : f (a) = f (b) =