Cours de première année :

Eléments de Logique
Mathias K.KOUAKOU Université F.H.B de Cocody Abidjan (Côte d’Ivoire) Abidjan, 05-24 Novembre, 2012 27 novembre 2012

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Chapitre 1 Ensembles
1.1 Définitions, Exemples

Définition On appelle ensemble toute collection d’objets bien déterminés dans laquelle les objets sont uniques. Ces objets s’appellent éléments de l’ensemble, ou les points de l’ensemble. Si x est un point d’un ensemble A, on écrit x ∈ A et on lit x appartient à A. Si x n’est pas un point de A, on écrit x ∈ A. Un ensemble peut être fini ou non, peut être concrêt ou imaginaire. Exemples −0, 1, 2, 3, · · · les entiers naturels forment un ensemble qui est noté N. − L’ensemble des couleurs de l’arc-en-ciel. − L’ensemble des étudiants de l’université de Cocody inscrits pour cette année universitaire : − a,b,c,...,z sont lettres de l’alphabet français. Notations - L’ensemble qui n’a aucun élément est dit vide et est noté ∅ ou {}. - Un ensemble qui n’a qu’un seul élément x est noté {x} et est appelé singléton. Un ensemble constitué de deux éléments s, x est noté {s, x}, ou {x, s} et est appelé paire. Remarque Un ensemble s’écrit soit en extension, soit en compréhension. Par exemple l’ensemble E de tous les entiers naturels inférieurs ou égal a 6 est écrit en extension : E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} et en compréhension : E = {x ∈ N :≤ 6} 3

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CHAPITRE 1. ENSEMBLES - L’ensemble P de tous les entiers relatifs pairs est écrit en compréhension : P = {2n, n ∈ Z}

(ce n’est pas la seule façon !). Notons que 101 ∈ P - L’ensemble S de toutes les puissances entières de 3 est qcrit en compréhension : S = {3n , n ∈ Z} Notons qu’aucun nombre pair appartient à S. - La collection { , 1, } n’est pas un ensemble.

1.2

Inclusion

Soient E et F deux ensemles. On dira que E est inclus dans F si tout élément de E est élément de F . On dit encore que E est un sous-ensemble de F ou E est une partie de F . On écrit dans ce cas E ⊂ F ou F ⊃ E. Exemples - L’ensemble