Universit´ Sultan Moulay Slimane e Module : Analyse num´rique e

2009-2010 par S. Melliani & L. S. Chadli

Analyse num´rique e Exercices corrig´s e
Interpolation polynˆmiale o
Exercice 1 D´terminer le polynˆme d’interpolation de Lagrange satisfaisant au tableau ci-dessous e o x f (x) 0 −1 2 2 3 9 5 87

Corrig´ : Rappelons que le polynˆme de Lagrange bas´ sur les points d’appui d’abscisses x0 , x1 , . . . , xn est de degr´ e o e e n et s’´crit : e n n x − xj Pn (x) = f (xk )Lk (x) avec Lk (x) = xk − xj k=0 j=0,j=k

ici les points d’appui donn´s par : e x0 x1 x2 x3 = 0 = 2 = 3 = 5
3

f (x0 ) = −1 f (x1 ) = 2 f (x2 ) = 9 f (x3 ) = 87

d´terminons donc un polynˆme de Lagrange de degr´ 3, celui-ci s’´crit : e o e e P3 (x) = k=0 f (xk )Lk (x) (x − x0 )(x − x2 )(x − x3 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x − 0)(x − 3)(x − 5) (2 − 0)(2 − 3)(2 − 5) 1 x(x − 3)(x − 5) 6 (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ) (x3 − x0 )(x3 − x1 )(x3 − x2 ) 1 x(x − 2)(x − 3) 30

avec L0 (x) = = = L2 (x) = = = Finalement

(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 ) (x − 2)(x − 3)(x − 5) (0 − 2)(0 − 3)(0 − 5) 1 − (x − 2)(x − 3)(x − 5) 30 (x − x0 )(x − x1 )(x − x3 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x − 0)(x − 2)(x − 5) (3 − 0)(3 − 2)(3 − 5) 1 − x(x − 2)(x − 5) 6

L1 (x)

= = =

L3 (x)

= =

P3 (x) = f (x0 )L0 (x) + f (x1 )L1 (x) + f (x2 )L2 (x) + f (x3 )L3 (x) 53 3 253 = x − 7x2 + x−1 30 30 ———————————————————— Exercice 2 Soit f (x) = 1 . D´terminer le polynˆme d’interpolation de Lagrange pour les points d’appui d’abscisses : −2, −1, e o 1 + x2 0, 1, 2. Ensuite discuter l’erreur d’interpolation. Corrig´ : Soit f (x) = e 1 . Les points d’appui sont : 1 + x2 x0 x1 x2 x3 x4 = −2 = −1 = 0 = 1 = 2 1 f (x0 ) = f (x1 ) = f (x2 ) = f (x3 ) = f (x4 ) =
1 5 1 2

1
1 2 1 5

Le polynˆme de Lagrange est de degr´ 4. Il s’´crit o e e
4

P4 (x) = k=0 f (xk )Lk (x) 1 = − x(x + 2)(x − 1)(x − 2) 8 1 L3 (x) = − x(x + 2)(x + 1)(x − 2) 6

avec L0 (x) = L2 (x) = L4 (x)