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Calculs approchés et arrondis

Un exemple
On lit ou on entend souvent des propos tels que « Un certain prix a augmenté de 1% l’an dernier puis de 2% cette année, soit de 3% sur les deux ans », donnant à penser à un comportement additif des taux de variation, et qu’il est correct de les ajouter directement.
Il s’agit en fait d’une approximation mathématiquement fausse mais numériquement acceptable pour des variations faibles et uniquement dans ce cas.
Reprenons l’exemple : le prix a été multiplié par l’indice multiplicatif i1 = 1,01 la première année, puis encore par i2 = 1,02 la seconde année, soit par i = i1.i2 = 1,01.1,02 sur l’ensemble de la période, ou i = 1,032 c’est à dire une augmentation de 3,02% qui de fait, sans y être égale, ne diffère guère de 3%.
Supposons à présent une hausse de 35% la première année et 47% la seconde. Le même calcul donne i = i1.i2 = 1,35.1,47 = 1,9845 soit une augmentation de 98,45%, fort éloignée cette fois de 35% + 47% = 82%…
L’explication
L’explication est la suivante, notons  et  les deux hausses successives. Le calcul correct dit que le prix a été multiplié sur les deux années par (1 + ).(1 + ) soit (1 +  +  + .) ce qui correspond à une hausse globale de  +  + . (l’écart à 1).
Si  et  sont petits (par exemple de l’ordre du centième), le produit . sera très petit (de l’ordre du dix millième) et pourra être négligé. C’était le cas du premier exemple mais non du second. Ayant coutume en mathématiques de désigner par la lettre grecque epsilon : , une petite quantité, on peut donc écrire, en négligeant le produit très petit .’
(1 + ).(1 + ’)  1 +  + ’ cela s’applique aussi bien pour des baisses, et par exemple
(1 - ).(1 + ’)  1 -  + ’ et on a également les approximations pour les quotients
1/(1 + )  1 - 

et

1/(1 - )  1 + 

Ces formules sont donc des formules approchées, qui ne donnent des approximations numériquement acceptables que si les quantités  et ’ sont réellement petites.

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Autre