aAntilles - Guyane

1. Exercice 1 6 points Question de cours Prérequis : positivité et linéarité de l’intégrale. Soient a et b deux réels d’un intervalle I de ℝ tels que a ≤ b . Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l’intervalle I, f (x) > g (x), alors

∫

b a

f ( x ) dt ≥

∫

b a

g ( x ) dt .

Partie A 1. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l’intégrale

∫

x 1

( 2 − t ) dt .
1 . t

2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [ 1 ; + ∞ [ , on a : 2 − t ≤ 3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a : − Partie B Soit h la fonction définie sur ℝ par h ( x ) = −

1 2 3 x + 2 x − ≤ ln x . 2 2

1 2 3 x + 2x − . 2 2

Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d’un repère orthogonal (O ; i , j ) dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. On a a tracé également la droite (d) d’équation x = 4. 1. a. Démontrer que

∫

4 1

h ( x ) dx = 0 .

b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note D le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. En utilisant un intégration par parties, calculer l’aire de D en unités d’aire.
1,5 y

1

0,5

0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 x

-0,5

-1

-1,5

1 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Antilles, Juin 2007 Sujets de Bac

Terminale S

2. Exercice 2 (non spécialistes) 5 points

(O ; u, v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point d’affixe 1 + i.
Au point M d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que z ' = 1. On pose z = x + iy et z ' = x '+ iy ' avec x, y, x’ et y’ réels. a. Démontrer les égalités suivantes : x ' = appartient à la droite (OA). b. Déterminer l’ensemble des points M du plan