CONCOURS INGENIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES
ITS Voie B Option Mathematiques
Corrige de la 1
ere Composition de Mathematiques
Partie I : Les polyn^omes de Legendre
1. (a) (t
2 1) n est un polyn^ome de degre 2n de coecient dominant 1 et Ln est sa derivee n ieme donc, Ln est un polyn^ome de degre n de coecient dominant 2n(2n 1)


(2n n + 1) =
(2n)!
n!
.
(b)
L0(t) =

(t
2
1)
0


(0)
= 1
L1(t) =

(t
2
1)
1


(1)
= (t
2
1)
0
= 2t
L2(t) =

(t
2
1)
2


(2)
= (t
4
2t
2
+ 1)
00
= 12t
2
4
L3(t) =

(t
2
1)
3


(3)
= (t
6
3t
4
+ 3t
2
1)
(3)
= 6  5  4t
3
3  4  3  2t = 120t
3
72t :
(c) Pour tout n, (t
21)
n est un polyn^ome pair donc, pour k pair (k  2n), d k dxk (t
21)
n est un polyn^ome pair, et pour k impair, d k dxk (t
2 1) n est un polyn^ome impair. En particulier, Ln a la m^eme parite que n.
(d) Demonstration par recurrence. On a L0(1) = 1 = 2
0  0!, l'assertion est vraie pour n = 0. Supposons que Ln1(1) = 2 n1 (n 1)!. En appliquant la formule de
Leibniz et en remarquant que seules les derivees premieres et secondes de (t
2 1) ne sont pas nulles :

(t
2
1)(t
2
1) n1

(n)
= nX k=0
C
k n (t
2
1)
(k)

(t
2
1) n1

(nk)
= (t
2
1)

(t
2
1) n1

(n)
+ C
1
n
(t
2 1)
0

(t
2
1) n1

(n1)
+ C
2
n
(t
2 1)
00

(t
2
1) n1

(n2)
= (t
2
1)

(t
2
1) n1

(n)
+ C
1
n2t

(t
2
1) n1

(n1)
+ C
2
n2

(t
2
1) n1

(n2)
:
D'autre part, d'apres la caracterisation des racines multiples a l'aide des derivees successives, 1 est racine simple de

(t
2 1) n1

(n2)
car 1 est racine de multiplicite
1n 1 de (t
2 1) n1 On a .

(t
2
1)(t
2
1) n1

(n)
(1) = (t
2
1)

(t
2
1) n1

(n)
(1) + C
1
n2

(t
2
1) n1

(n1)
(1)
+ C
2
n2

(t
2
1) n1

(n2)
(1)
= n  2  2 n1 (n 1)! + C
2