[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014

Enoncés

1

Polynômes

Polynômes complexes

L’anneau des polynômes

Exercice 6 [ 00271 ] [correction]
Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que :
∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1

Exercice 1 [ 02127 ] [correction]
Résoudre les équations suivantes :
a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X]
b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X].

Exercice 7 [ 03342 ] [correction]
Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ C [X]. On pose
M = sup |P (z)|
|z|=1

Exercice 2 [ 02674 ] [correction]
Trouver les P ∈ R [X] tels que P (X 2 ) = (X 2 + 1)P (X).

Montrer
∀k ∈ {0, . . . , n} , |ak |

M

(indice : employer des racines de l’unité)
Exercice 3 [ 02377 ] [correction]
a) Pour n ∈ N, développer le polynôme n (1 + X)(1 + X 2 )(1 + X 4 ) . . . (1 + X 2 )
b) En déduire que tout entier p > 0 s’écrit de façon unique comme somme de puissance de 2 : 1, 2, 4, 8, . . .

Exercice 4 [ 02553 ] [correction]
Soit (Pn )n∈N la suite de polynômes définie par
P1 = X − 2 et ∀n ∈ N , Pn+1 = Pn2 − 2
Calculer le coefficient de X 2 dans Pn .

Polynômes réels
Exercice 5 [ 00399 ] [correction]
Soit P ∈ R [X]. Montrer qu’il y a équivalence entre
(i) ∀x ∈ R, P (x) 0 ;
2
(ii) ∃(A, B) ∈ R [X] , P = A2 + B 2 .

Exercice 8
Soit

[ 02165 ]

[correction]

P (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ C [X]
Montrer que si ξ est racine de P alors
|ξ|

1+

max

0 k n−1

|ak |

Exercice 9 [ 03683 ] [correction]
Soit P ∈ C [X] un polynôme non constant dont les racines complexes sont de parties imaginaires positives ou nulles. Montrer que le polynôme P + P¯ est scindé dans R [X].

Polynômes réels scindés
Exercice 10 [ 03581 ] [correction]
Soit P ∈ R [X] scindé de degré 2 ; on veut montrer que le polynôme P est lui aussi scindé.
a) Enoncer le théorème de Rolle.
b) Si x0 est racine de P de multiplicité m 1, quelle en est la multiplicité dans
P ?
c) Prouver le résultat