Centrale – sup´lec, 2001 e math´matiques ii, pc e

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´ Partie I. Etude de quelques exemples I.A.1. a) si (x, y) sont li´s, on peut supposer y = λx avec λ = 0. On compl`te (x) en (x, x 2, . . . , xn) base e e de V . L’endomorphisme dont la matrice associ´e dans cette base est : e  λ  ... 0 . . 1 . . .. . . . ... ... 1
3, . . . , n)

0

 0 A=. . . 0

est inversible et convient. b) si la famille (x, y) est libre, on la compl`te en (x,y, e f(x) = y, f(y) = x, et pour tout 3 ≤ k ≤ n, f( k ) = k . est :  0 1 0 ... 1 0 0 ...  A = 0 0 1 ... . . .. . . . . . 0 0 ... ...

base de V . On d´finit f par e La matrice associ´e a f dans cette base e `

 0 0  0 . . . 1

I.A.2. La propri´t´ (P1) n’est pas v´rifi´e, car une matrice de rang 1 n’est pas inversible (la dimension ee e e de V est sup´rieure a 2). e ` La propri´t´(P2 ) est v´rifi´e, car I est inversible. ee e e La propri´t´ (P3 ) est v´rifi´e, car I est inversible. ee e e La propri´t´ (P4 ) n’est pas v´rifi´e, car GLn n’est pas un sous-espace vectoriel (il ne contient pas le ee e e vecteur nul). La propri´t´ (P5 ) est v´rifi´e, car GLn est un groupe. ee e e I.B.1. Si l’on note (e1 , . . . , en ) une base, et si A est triangulaire dans cette base, il vient Aen= an,nen , ce qui signifie que en est vecteur propre associ´ a la valeur propre an,n. e` On en d´duit que la propri´t´ (P6 ) n’est pas v´rifi´e, car Vect(en ) est un sous-espace de dimension 1, e ee e e stable par tous les ´l´ments de L . ee ee e e I.B.2. La propri´t´ (P1) est v´rifi´e ; par exemple  0  ... 0 . . . 0 . .. . . . ... ... 1 0

 0 . . . 0

La propri´t´ (P2 ) est v´rifi´e,car I est triangulaire. ee e e La propri´t´ (P3 ) est v´rifi´e, car I est triangulaire et inversible. ee e e La propri´t´ (P4) est v´rifi´e ; si A, B sont triangulaire inf´rieures et λ est un scalaire, A + λB est ee e e e triangulaire inf´rieure. e La propri´t´ (P5 ) est v´rifi´e ; il suffit de faire le calcul... ee e e m01cp2ca.tex - page 1

I.C.1. Si A ∈ L et λ ∈ C, par les propri´t´s (P3), (P4), ona : A − λI ∈ L. Le rang de cette matrice ne ee pouvant ˆtre 1, il est ´gal a 2 ou 0. Comme on travaille dans C, A admet au moins une valeur propre λ, e e ` et la matrice A − λI n’est pas inversible. Donc, il existe λ ∈ C tel que rg(A−λI) = 0, donc tel que A = λI. Ainsi L est l’ensemble des homoth´ties, e car l’inclusion r´ciproque est imm´diate. e e I.C.2. Si la propri´t´ (P1) n’est pas v´rifi´e,la question pr´c´dente entraˆ que L = {λI | λ ∈ C}, ce ee e e e e ıne qui entraˆ que la propri´t´ (P6) n’est pas v´rifi´e, car tous les sous-espaces de V sont stables par une ıne ee e e homoth´tie. e Partie II. Les propri´t´s (P3 , P4, P5, P6) sont v´rifi´es. On montre que (P1) l’est ´galement e e e e e II.A. Notons U = {N z1 | N ∈ L}. U n’est pas r´duit a 0, puisque I ∈ L implique que z1 ∈ U . Parla e ` ee e propri´t´ (P5), U est stable par L. On en d´duit par (P6) que U = V . Un calcul imm´diat donne M0 x1 = z1 et M1 x1 = z2 . La famille (z1 , z2 ) ´tant libre, la famille (M0 , M1 ) e e l’est ´galement. e II.B. Soit u ∈ M0 (V ). Il existe x ∈ V tel que u = M0 x. Alors : M0 N0 u = M0 (N0 M0 x) ∈ M0 (V ) La matrice M0 N0 ´tant dans Mn (C), elle admet au moins une valeur propre α ∈ C et unvecteur propre e z = 0 associ´. e On peut ´crire M1 − αM0 = (M0 N0 − αI)M0 = LM0 . Ainsi rg(M1 − αM0) = rg(LM0 ) ≤ rg(M0 ). De e plus la matrice L n’´tant pas inversible, il vient rg(M1 − αM0 ) < rg(M0 ). En effet : e rg(M1 − αM0) = rg(L|Im M0 ) = rg(M0 ) − dim Ker(L ∩ Im M0 ) < rg(M0 ) Si l’on suppose m ≥ 2, on trouve ainsi un ´l´ment non nul de de L de rang strictement inf´rieur a celui ee e ` deM0 . C’est une contradiction au choix de M0 . Donc m = 1. Partie III. Les propri´t´s (P4, P5) sont v´rifi´es. On montre que (P3, P6) le sont ´galement, e e e e e puis que L = E III.A. Notons : ˜ L = {M ∈ E | M (W ) ⊂ W } Il est ais´ de montrer que c’est un sous-espace vectoriel de E qui contient L, car W est stable par L. e Soit W1 un supp´lemntaire de W dans V , soit V = W ⊕ W1. C’est un...
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