SESSION 2007

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

EXERCICE
a. f est continue sur le compact [0, 1]2 en tant que quotient de fonctions continues sur [0, 1]2 dont le dénominateur ne s’annule pas sur [0, 1]2 , à valeurs dans R. On sait alors que f admet un maximum sur ce compact. b. f est de classe C1 sur l’ouvert ]0, 1[2 . On sait alors que si f admet un maximum en un point (x0 , y0 ) de cet ouvert, (x0 , y0 ) est un point critique de f. Or, pour (x, y) ∈]0, 1[2 ∂f (1 + x2 ) − 2x(x + y) 1 − x2 − 2xy 1 × = , (x, y) = 2 2 )2 ∂x 1+y (1 + x (1 + y2 )(1 + x2 )2 puis en échangeant les rôles de x et y 1 − y2 − 2xy ∂f . (x, y) = ∂y (1 + x2 )(1 + y2 )2 Par suite, pour (x, y) ∈]0, 1[2 ,   ∂f (x, y) = 0   ∂x ⇔  ∂f  (x, y) = 0  ∂y

1 − x2 − 2xy = 0 ⇔ 1 − y2 − 2xy = 0

y2 = x2 ⇔ 1 − x2 − 2xy = 0

y=x 1 − 3x2 = 0

Ainsi, si f admet un maximum dans ]0, 1[2 , ce maximum est √ 2/ 3 1 1 = f √ ,√ 3 3 1 1+ 3

1 ⇔x=y= √ . 3

2

√ 2 9 3 3 =√ × = . 8 3 16

c. Soient A = (0, 0), B = (1, 0), C = (0, 1) et D = (1, 1). 1 − x2 x d x = . Or . Par suite, la fonction x → f(x, 0) est croissante • Pour x ∈ [0, 1], f(x, 0) = 2 2 1+x dx 1 + x (1 + x2 )2 1 sur [0, 1] et admet donc un maximum en 1 égal à f(0, 1) c’est-à-dire . Donc f admet un maximum sur [AB] égal à 2 x+1 d 1 − 2x − x2 (1 + x2 ) − 2x(x + 1) x+1 . Or = . Par suite, la (x) = • Pour x ∈ [0, 1], f(x, 1) = 2) 2) 2 )2 2(1 + x dx 2(1 + x 2(1 + x2 )2 √ √2(1 + x fonction x → f(x, 1) est croissante sur [0, 2 − 1], décroissante sur [ 2 − 1, 1] et admet donc un maximum en √ √ 2 − 1(∈ [0, 1]) égal à f( 2 − 1, 1) avec √ √ √ √ 1 2 2 2+1 1 √ √ = √ = 0, 6 . . . > . = = f( 2 − 1, 1) = 2) 4 2 2(1 + ( 2 − 1) 2(4 − 2 2) 4( 2 − 1) √ √ 1 2+1 2+1 Ainsi, f admet sur [AB] ∪ [CD] un maximum égal à Max{ , } ou encore . Par symétrie des rôles de x et 2 4 4 √ 2+1 f admet un maximum sur [AC] ∪ [BD] égal à et finalement 4 http ://www.maths-france.fr 1

1 . 2

y,

c Jean-Louis Rouget, 2007.