CHAPITRE

3
ACTIVITÉ

Dérivation
(page 73)

3 a) L’équation réduite de la droite d : y = 3x – 2.

Activité

c) La droite d semble tangente en A à la parabole ᏼ.

2 b) Le coefficient directeur semble « s’approcher » de m = 3.

4 b) Le coefficient directeur de la tangente est 3. Cela confirme la conjecture faite précédemment.

PROBLÈME OUVERT
Par lecture graphique : en A de coordonnées (3 ; 0).
Par le calcul, après assimilation du chapitre.
1
La fonction f définie sur ]0 ; + ∞[ par f(t) = 1 + est t
1
dérivable en t = 1, et f’(t) = – 2 . t EXERCICES
1

Application (page 77)

La tangente en A(– 3 ; –1) passe par C(– 2 ; 1),
1+1
= 2; donc le coefficient directeur m =
–2 + 3 donc f’(– 3) = 2.
La tangente B(1 ; 2) passe par D(3 ; 1),
1–2
1 donc m =
=– ;
3–1
2
1
donc f’(1) = – .
2
2 Le coefficient directeur de (AB) est m = –1 – 3 = – 2 ;
4–2
donc f’(2) = – 2.

32

L’équation réduite de la tangente en P est : y = f’(1)(x – 1) + f(1), soit y = – x + 3. Cette tangente coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 3.

3

y
B

5
3
A
1
O

D

2
1

C
1

1
1

4

7

10

x

4

1
;
x2

1. a) f’(x) = –

donc :
1
f’(1) = –1 et f’ –
= – 4.
2
b) Voir figure ci-contre.
2. Tangente en A : y = −1(x −1) + 1 soit y = − x + 2.
Tangente en B :
1
−2 y = −4 x +
2
soit y = − 4x − 4.

A

1

1

B

–2

–3

1

–4

–6

1
1
1
; donc : f’(1) = et f’(4) = .
21x
2
4

11 Tangentes à une courbe passant par un point
• Les outils :
– Équation d’une tangente.
– Résolution d’une équation du second degré.
• L’objectif :
– Savoir déterminer les tangentes à une courbe issues d’un point. y

C

B

O–1+12
–1

4

5 x

6

1. f’(x) = 3x2 ;

donc : f’(1) = 3 et f’(–1) = 3.
2. Voir figure ci-contre.
3. a) Les deux tangentes semblent parallèles.
b) f’(1) = f’(−1) = 3.
Les deux tangentes ont le même coefficient directeur, donc elles sont bien parallèles.

y