Correction du devoir surveillé TS1 et TS3 Exercice 1 Partie A On considère la fonction f, qui à tout nombre complexe z associe le nombre complexe f ( z ) iz 2 2 i 1. Ecrire sous forme algébrique 1 i 2 i (2 i)(1 i) 3 1 i 1 i 2 2 2 2 i 3 1 Conclusion :la forme algébrique de est i 1 i 2 2 2 i 2. Calculer f 1 i
3 2 i f =i 2 1 i 1 i 2
2

z

2

3 2

1 i 2

2 i

9 4

6 1 i 4 4

3 2

1 3 i 2 i 2 i 2 2

3 2

1 i 2 2

5

5 i 2

Conclusion : f

2 i 5 5 i 1 i 2 3. Montrer que le point E d’affixe f (2–i) est sur l’axe des ordonnées f (2 i ) i (2 i ) 2 (2 i ) 2 i (3 4i ) 2 i 2 3i 4 2 i 2 2i Conclusion :2i est un imaginaire pur , donc le point E est sur l’axe des ordonnées

Rappel : un imaginaire pur est situé sur l'axe des imaginaires ou axe des ordonnées Partie B Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O; u , v , on considère les points A et B d’affixes respectives z A
2 i et z B 1 3i

1. En utilisant les complexes, montrer que le barycentre du système de points pondérés ( A;3),( B;1) est sur l’axe des abscisses Soit G le barycentre de ( A;3),( B;1) et 3+1 0 donc 3GA GB 0 alors son affixe vérifie

3zA 3zG

zG

zB

0 soit zG
5 4

3z A 4

zB

3(2 i) 1( 1 3i) 4

6 3i 1 3i 4

5 4

Conclusion : comme

, on en déduit que G est sur l’axe des abscisses

Rappel : un réel est situé sur l'axe des réels ou axe des abscisses 2. Soit C le point d’affixe zC 2 2i . Déterminer, par le calcul, l’affixe du point D pour que ABCD soit un parallélogramme AB DC z B z A zC z D ABCD est un parallélogramme z D zC z B z A z D 5 2i Exercice 2Vrai ou Faux : justifiez votre réponse Remarque : Une affirmation fausse est en général justifiée à l'aide d'un contre-exemple 1. Pour tout réel x, e1 x2 e1

x

e1

x

Si x 0, e1

x2

e et e1 xe1

x

e2 . Comme exp est strictement croissante sur x , e1

e2

Il existe donc un réel 0 pour lequel l’égalité n’est pas vérifiée donc l’affirmation est fausse 2. Pour tout réel x