1 Microéconomie : éléments de corrigé dossier TD 2
L’énoncé du TD est sur Moodle
Exercice 1
Afin de répondre à la question relative à la nature des rendements d’échelle, il est nécessaire de montrer au préalable que cette fonction est homogène de degré k en K et L.
Il est donc nécessaire d’énoncer et d’écrire la définition. Une fonction 𝑓(𝑥𝑖) est homogène de degré k en 𝑥𝑖, 𝑖 = 1, … 𝑛, nous pouvons nous prononcer sue la nature des …afficher plus de contenu…

1
2 𝐾
1
2
𝐾
−1
2 𝐿
3
2
= 3
𝐾
𝐿
=
𝑤
𝑟
=
10
15
=
2
3

Peut être obtenue en passant par l’écriture de l’expression de la fonction de Lagrange :
ℒ(𝐾, 𝐿, 𝜆) = 3𝐾
1
2𝐿
3
2 + 𝜆(600 − 10𝐿 − 15𝐾)
Les deux premières conditions du premier ordre pour un maximum (voir le cours) donnent la même expression que celle obtenue avec la condition d’équilibre du producteur :
𝜕ℒ
𝜕𝐿
𝜕ℒ
𝜕𝐾
=
𝜕𝑓
𝜕𝐿
𝜕𝑓
𝜕𝐾
= 3
𝐾
𝐿
=
𝑤
𝑟
=
10
15
=
2
3

Avec des valeurs numériques attribuées aux prix des facteurs et à la dépense totale, …afficher plus de contenu…

𝜆 = 3
3
2 (10)
1
2 (45)
1
2
10
⤇ 𝜆 ≅ 9,54
Or le multiplicateur de Lagrange mesure l’accroissement de la production qui découle du relâchement de la contrainte budgétaire d’une unité monétaire
𝜆 =
𝑑𝑦
𝑑𝐷
⤇ 𝑑𝑦 = 𝜆𝑑𝐷
Dans notre cas, une unité monétaire supplémentaire accordée aux dépenses (le budget du producteur) provoque une hausse de la production de 9,54 unités
Remarque importante : la démonstration du calcul
De manière plus générale, écrivons l’expression du Lagrangien
ℒ(𝐾, 𝐿, 𝜆) = 𝑓(𝐾, 𝐿) + 𝜆[𝐷 − 𝑤𝐿 − 𝑟𝐾]
Les conditions du premier ordre pour un maximum nous donnent :