CHAPITRE 1 LES ENSEMBLES

1.1. Introduction De nombreux problèmes mathématiques ne concernent que des objets pris individuellement. Par exemple, la question « le nombre entier 211 −1 est-il premier ou non ? » porte sur le nombre 211 −1, qui semble être, d’un point de vue intuitif, un objet « atomique » des mathématiques. Il existe cependant beaucoup d’autres situations dans lesquelles il est important de pouvoir considérer un regroupement d’objets mathématiques sans avoir à nommer spécifiquement l’un ou l’autre de ces objets, et de considérer ce regroupement comme un tout qui devient lui-même un nouvel objet mathématique appelé ensemble. Exemples. — 1. L’ensemble des nombres premiers est le regroupement contenant tous les nombres entiers qui sont premiers (donc 2, 3, 5, 7, 11, etc.) Lorsque l’on dit par exemple que cet ensemble est infini, on énonce une propriété de cet ensemble, et non une propriété de chaque nombre premier pris individuellement. 2. Les « figures géométriques » usuelles du plan sont par nature des ensembles (de points du plan) que l’on considère comme un seul objet : droites, cercles, segments, triangles, etc.

1.2. Notion d’ensemble La notion d’ensemble est une notion primitive, prise dans un sens intuitif. La « définition » qui suit ne fait donc que donner des synonymes, pas plus définis, du mot « ensemble ». 1.2.1. Définition intuitive. — Un ensemble est une « collection », un « regroupement » d’objets. Tout objet qui se trouve dans un ensemble donné est appelé un élément de cet ensemble ; on dit aussi qu’il appartient à cet ensemble. On utilise le symbole ∈ pour dénoter l’appartenance : l’écriture a ∈ A signifie « l’objet a appartient à l’ensemble A », et a ∉ A signifie « l’objet a n’appartient pas à l’ensemble A ». Les ensembles sont fréquemment notés par des lettres majuscules et leurs éléments par des lettres minuscules. Exemples. — 1. Soit A l’ensemble des nombres entiers qui sont pairs. Alors 6 ∈ A et 11 ∉ A.

2. Dans le plan muni d’un