CHAPITRE 3
SERIES DE F OURIER
3.1

Séries trigonométriques

Définition 3.1.1 On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions de la forme : a0 +
2

∞

an cos(nωx) + bn sin(nωx)

(1)

n=1

avec x ∈ R, ω > 0 , an , bn ∈ R, pour tout n dans N.
Le problème est de déterminer l’ensemble ∆ tel que la série (1) soit convergente pour tout x ∈ ∆.
Remarque 3.1.1
Supposons que la série (1) converge et posons f (x) =

a0
+
2

∞

an cos(nωx) + bn sin(nωx). n=1 Sachant que pour tous n ∈ N et k ∈ Z : cos (nω(x + 2kπ/ω)) = cos(nωx + 2nkπ) = cos(nωx) sin (nω(x + 2kπ/ω)) = sin(nωx + 2nkπ) = sin(nωx).
2kπ
, k ∈ Z. ω 2kπ
Si la série (1) converge dans R, on aura f (x) = f x + et par suite la fonction f est ω périodique de période T = 2π/ω. En conclusion, les propriétés suivantes sont équivalentes :
Alors la série (1) converge en tout point de la forme x +

i. La série trigonométrique (1) converge dans R. ii. La série trigonométrique (1) converge dans [0, 2π/ω] . iii. La série trigonométrique (1) converge dans [α, α + 2π/ω], ∀α ∈ R
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SERIES DE F OURIER
Proposition 3.1.1
Si les séries numériques an et bn sont absolument convergentes alors la série trigonométrique (1) est normalement convergente sur R ; donc absolument et uniformément sur R.
Preuve :
C’est évident puisque |an cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |.
Proposition 3.1.2
Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors
2kπ
la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve :
C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n; n ≤ m. p=m p=m

cos px

C=
On a pour t

sin px.

S=

p=n

p=n

2kπ où k ∈ Z : p=m C + iS

p=m

cos pt + i

= p=n p=m

sin pt = p=n (cos pt + i sin pt) p=n eipt = eint 1 + eit + e2it + · · · + ei(m−n)t = eint

= p=n = eint

= eint

= eint

= eint

sin

1 − ei(m−n+1)t
1 − eit

(1 − cos(m − n + 1)t) − i sin(m − n + 1)t
(1