Développement et racines carrées

3e

Exemples no 1 (Développement simple). Développer et réduire A =

√

√
6 3+2 6 .

Avec la distributivité, chaque terme contenu entre parenthèses est multiplié par
A=

√

√

6:

√
√
√
√
√
√
√
6 3 + 2 6 = 6 × 3 + 6 × 2 6 = 3 6 + 2( 6)2 = 3 6 + 12 .

√ no 2 (Double développement). Développer et réduire B = 1 + 2 2

3−

√

2 .

Chaque terme de la deuxième parenthèse est multiplié par chaque terme de la première :
√
B = 1+2 2

3−

√

2 =3−

√

√
√
√
√
2 + 6 2 − 2( 2)2 = 3 + 5 2 − 4 = 5 2 − 1 .

√
√
no 3 (Identité (a + b)2 ). Développer et réduire C = 2 5 + 2

2

.

√
√
√
√
On peut bien entendu écrire C = 2 5 + 2 2 5 + 2 et appliquer la méthode précédente. On pourra plutôt utiliser l’identité (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 :
√
√
C = 2 5+ 2

2

√
√
√
√
√
√
= (2 5)2 + 2 × 2 5 × 2 + ( 2)2 = 4 × 5 + 4 10 + 2 = 22 + 4 10 .

√ 2
√
Remarque : on a bien (2 5)2 = 22 × 5 = 4 × 5 = 20.

√ no 4 (Identité (a − b)(a + b)). Développer et réduire D = 3 6 − 5

√
3 6+5 .

Ici aussi, on utilise plutôt l’identité (a − b)(a + b) = a2 − b2 même si on peut toujours développer comme à l’exemple 2 :
√
√
√
D = 3 6 − 5 3 6 + 5 = (3 6)2 − (5)2 = 9 × 6 − 25 = 29 .

Exercices no 1. Développer A = (1 −

√

√
5)(3 5 + 1).

√
√
no 2. Développer B = (3 − 2 2)(2 + 2 2).

Réponse :

√
√
no 4. Développer D = ( 2 − 1)( 3 + 1).

Réponse :

√
√
no 5. Développer E = (5 5 + 2)(5 − 5).
√

no 7. Développer G = (2 +

√

√

13).

√
E = 23 5 − 15

√
F = −13 − 9 3

Réponse :

Réponse :

√ √
√
√ no 9. Développer I = ( 5 − 7)( 5 + 7).
√

√
C = 11 3 − 11

√
√
√
6+ 2− 3−1

Réponse :

√
√
no 8. Développer H = (2 3 − 5)(2 3 + 5).

no 10. Développer J = (3 −

D=

Réponse :

√
3)(1 − 5 3).
13)(2 −

√
B =2 2−2

Réponse :

√
√
no 3. Développer C = (2 3 − 1)(5 − 3).

no 6. Développer F = (2 +

√
A = 2 5 − 14

Réponse :

Réponse :

5)2 .

Réponse :

√ no 13. Développer M = (3 5 + 2)2 .

Réponse :

I = −2

√
K = 13 − 4 3

Réponse :

√
√
no 12. Développer L = ( 2 − 3)2 .

H = −13

√
J = 14 − 6 5