Dissertation

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SESSION 2008

Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES II. FILIERE PC

Question préliminaire
Puisque det(M) = e = 0, M est inversible. De plus, a c Puisque e = 0, on en déduit que a c b d b d d −b −c a × 1 e = ad − bc 0 0 ad − bc = eI2 .

d −b −c a 1 e

= I3 et donc que d −b −c a

M−1 =

.

Partie I - Récurrences linéaires
I.A - Récurrences linéaires d’ordre 2 I.A.1) Soit n ∈ N.Xn+1 = xn+1 xn+2 = xn+1 −a0 xn − a1 xn+1 = 0 −a0 1 −a1 0 −a0 xn xn+1 1 −a1 . = 0 −a0 1 −a1 Xn .

∀n ∈ N, Xn+1 = AXn où A =

I.A.2) χA = X2 − Tr(A)X + det(A) = X2 + a1 X + a0 et donc ∀λ ∈ C, λ ∈ Sp(A) ⇔ λ2 + a1 λ + a0 = 0. , (x, y) ∈ C2 . 0 −a0 x y λ1 0 = z t 0 λ2  z = λ1 x  z = λ1 x   t = λ2 y t = λ2 y ⇔ ⇔ 2 −a0 x − a1 z = λ1 z  (λ1 + a1 λ1 + a0 )x = 0  2  −a0 y − a1 t = λ2 t (λ2 + a1 λ2 +a0 )y = 0 1 −a1 x z y t

I.A.3) a) Posons Q =

x z

y t

AQ = QD ⇔ ⇔

      

z = λ1 x t = λ2 y

x y . Le déterminant d’une telle matrice λ1 x λ 2 y est xy(λ2 − λ1 ). Puisque λ1 − λ2 = 0, ce déterminant est nul si et seulement si xy = 0. Par suite, Q est inversible si et seulement si x = 0 et y = 0. Les matrices Q telles que AQ = QD sont les matrices de la forme Les matricesQ ∈ G L n (C) telles que AQ = QD sont les matrices de la forme x λ1 x y λ2 y , (x, y) ∈ (C∗ )2 .

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c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

b) Soit n ∈ N. On a A = QDQ−1 et donc An = QDn Q−1 . ∀n ∈ N, An = Q × diag(λn , λn ) × Q−1 . 1 2 I.A.4) a) On sait que 2λ = Tr(A) = −a1 et λ2 = det(A) = a0 . Donc a1 = −2λ et a0 = λ2 . b) Posons Q = x z y t ,(x, y) ∈ C2 . 0 −a0 1 −a1 x y z t x z y t λ 0 1 λ

AQ = QT ⇔

 z = λx  z = λx   t = x + λy t = x + λy ⇔ (λ2 + a1 λ + a0 )x = 0  −a0 x − a1 z = λz   a0 y + a1 (x + λy) + λx + λ(x + λy) = 0 −a0 y − a1 t = z + λt   z = λx   t = x + λy z = λx ⇔ ⇔ t = x + λy  (λ2 − 2λ2 + λ2 )x = 0  2  (λ − 2λ2 + λ2 )y + (−2λ + λ + λ)x = 0 x λx y x + λy . Le déterminant d’une telle matrice

=     ⇔  

Les matrices Q telles que AQ = QT sont les matrices de la forme est x2 . Donc Q est inversible si et seulement si x = 0.

Les matrices Q ∈ G L n (C) telles que AQ = QT sont les matrices de la forme 1 0 λ 1

x y λx x + λy

, (x, y) ∈ (C∗ × C).

En particulier, pour Q =

, on a Q−1 AQ = T et donc A est semblable à T .

c) Soit n ∈ N. On a T = λI2 + E1,2 . Déjà, on a E2 = 0 etdonc ∀k ≥ 2, Ek = 0. Comme les matrices λI2 et E1,2 1,2 1,2 commutent, la formule du binôme de Newton permet d’écrire T n = λn I2 + nλn−1 E1,2 = Mais alors ∀n ∈ N, An = Q λn 0 nλn−1 λn Q−1 . λn 0 nλn−1 λn .

I.A.5) • Si A admet deux valeurs propres distinctes, A est semblable à une matrice diagonale d’après la question I.A.3). Dans ce cas, A est diagonalisable. • Si A admet une valeur propredouble, d’après la question I.A.4), A est semblable à la matrice T . T admet λ pour valeur propre double. Cependant, rg(T − λI2 ) = 1 = 0 ou encore dim(Ker(T − λI2 ) = 1 = 2. La dimension du sous-espace propre associé à λ n’est donc pas l’ordre de multiplicité de λ ce qui montre que T n’est pas diagonalisable. Il en est de même de A. I.A.6) Deux exemples numériques 0 1 . Les valeurs propres de A sontles racines de l’équation −2 3 z2 − 3z + 2 = 0. On peut donc prendre λ1 = 1 et λ2 = 2 et on est dans la situation de la question I.A.3). On peut choisir 1 1 Q= et on a A = Q × diag(1, 2) × Q−1 puis pour n ∈ N, 1 2 a) Exemple 1 Ici, a0 = 2, a1 = −3 puis A = Xn = An X0 = = 2 − 2n 2 − 2n+1 1 1 1 2
n+1

1 0

0 2n x0 x1

2 −1 −1 1 =

x0 x1

=

1 2n n+1 1 2 .

2 −1

−1 1

x0 x1

2n− 1 2 −1

(2 − 2n )x0 + (2n − 1)x1 (2 − 2n+1 )x0 + (2n+1 − 1)x1 2

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En particulier, ∀n ∈ N, xn = (2 − 2n )x0 + (2n − 1)x1 . 0 1 . Les valeurs propres de A sont les racines de l’équation −4 4 z2 − 4z + 4 = 0. A admet donc une valeur propre double à savoir λ = 2 et on est dans la situation de la question I.A.4)....
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