SESSION 2008

Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES II. FILIERE PC

Question préliminaire
Puisque det(M) = e = 0, M est inversible. De plus, a c Puisque e = 0, on en déduit que a c b d b d d −b −c a × 1 e = ad − bc 0 0 ad − bc = eI2 .

d −b −c a 1 e

= I3 et donc que d −b −c a

M−1 =

.

Partie I - Récurrences linéaires
I.A - Récurrences linéaires d’ordre 2 I.A.1) Soit n ∈ N. Xn+1 = xn+1 xn+2 = xn+1 −a0 xn − a1 xn+1 = 0 −a0 1 −a1 0 −a0 xn xn+1 1 −a1 . = 0 −a0 1 −a1 Xn .

∀n ∈ N, Xn+1 = AXn où A =

I.A.2) χA = X2 − Tr(A)X + det(A) = X2 + a1 X + a0 et donc ∀λ ∈ C, λ ∈ Sp(A) ⇔ λ2 + a1 λ + a0 = 0. , (x, y) ∈ C2 . 0 −a0 x y λ1 0 = z t 0 λ2  z = λ1 x  z = λ1 x   t = λ2 y t = λ2 y ⇔ ⇔ 2 −a0 x − a1 z = λ1 z  (λ1 + a1 λ1 + a0 )x = 0  2  −a0 y − a1 t = λ2 t (λ2 + a1 λ2 + a0 )y = 0 1 −a1 x z y t

I.A.3) a) Posons Q =

x z

y t

AQ = QD ⇔ ⇔

      

z = λ1 x t = λ2 y

x y . Le déterminant d’une telle matrice λ1 x λ 2 y est xy(λ2 − λ1 ). Puisque λ1 − λ2 = 0, ce déterminant est nul si et seulement si xy = 0. Par suite, Q est inversible si et seulement si x = 0 et y = 0. Les matrices Q telles que AQ = QD sont les matrices de la forme Les matrices Q ∈ G L n (C) telles que AQ = QD sont les matrices de la forme x λ1 x y λ2 y , (x, y) ∈ (C∗ )2 .

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b) Soit n ∈ N. On a A = QDQ−1 et donc An = QDn Q−1 . ∀n ∈ N, An = Q × diag(λn , λn ) × Q−1 . 1 2 I.A.4) a) On sait que 2λ = Tr(A) = −a1 et λ2 = det(A) = a0 . Donc a1 = −2λ et a0 = λ2 . b) Posons Q = x z y t , (x, y) ∈ C2 . 0 −a0 1 −a1 x y z t x z y t λ 0 1 λ

AQ = QT ⇔

 z = λx  z = λx   t = x + λy t = x + λy ⇔ (λ2 + a1 λ + a0 )x = 0  −a0 x − a1 z = λz   a0 y + a1 (x + λy) + λx + λ(x + λy) = 0 −a0 y − a1 t = z + λt   z = λx   t = x + λy z = λx ⇔ ⇔ t = x + λy  (λ2 − 2λ2 + λ2 )x = 0  2  (λ − 2λ2 + λ2 )y + (−2λ + λ + λ)x = 0 x λx y x + λy . Le déterminant d’une telle matrice

=     ⇔