Sup Tsi

R´eponses de l’´epreuve de Math´ematiques 2 du Concours blanc
Probl`
eme
Partie A

(R´ esolution d’une ´ equation diff´ erentielle) 1. (a) yH (x) = λx.
(b) yP (x) = −1 − ln x.
(c) yG (x) = yH (x) + yP (x) = λx − 1 − ln x.
(d) f (x) = x − 1 − ln x.

2. (a) α = 1.

(b) On a xK ′′ + K ′ = 0 d’o` u K(x) = λ ln x + µ.
(c) yH (x) = λx ln x + µx.
1
1 et y0′′ (x) = 2 . x x
(e) yG (x) = y0 (x) + yH (x) = −1 − ln x + λx ln x + µx.

(d) On remarque que y0′ (x) = −

(f) On montre que µ = 1 et λ = 0.

Partie B

´
(Etude
de la fonction f )

1. x 0

1
+∞

f (x)

+∞ ց 0

ր

2.

3. On remarque que f (x)
4. F (x) =
1

5. lim

ǫ→0 ǫ ǫ>0 x2
− x ln x.
2

0 pour tout x ∈ R∗+ .

1 f (x) dx = F (1) − lim F (ǫ) = . ǫ→0 2 ǫ>0 M

6.

lim

M →+∞ 1

f (x) dx =

www.emmanuelmorand.net

lim F (M ) = +∞.

M →+∞

1/2

supTSI1112DiversCB2correction

Sup Tsi

Partie C

R´eponses de l’´epreuve de Math´ematiques 2 du Concours blanc
(Comparaison des moyennes)

a1 + a2 + · · · + an mg −n soit n ln ma ma

a1 a2 . . . an mna 1. En sommant les in´egalit´es, on obtient ln

0.

ai
= 1 pour tout i soit a1 = a2 = · · · = an . ma 3. C’est ´evident pour xyz = 0 sinon on utilise la question pr´ec´edente avec a1 = x4 y 2 z 2 , a2 = x2 y 4 z 2 , a3 = x2 y 2 z 4 et a4 = 1.
1 1
1
1
1
4. On montre que √
+
+ ··· +
.
n a a ...a n a1 a2 an 1 2 n 2. On a mg = ma si

5. On a mh = mg si

1 a1 =

1 a2 6. On remarque que mh

Partie D

= ··· =

1 an soit a1 = a2 = · · · = an . n x1 + x2 + · · · + xn ma d’o` u .
1
1
1
n
+
+ ··· + x1 x2 xn mg

√ n (D´ etermination d’un ´ equivalent de

n!)

1. On pose ai = i. k 2. On remarque que k−1 k

dx x k−1

dx
1
= . k k n 3. En sommant les in´egalit´es de la question pr´ec´edente, on obtient
1
k=n

4. On en d´eduit que
√
5. lim n n! = +∞.

1 + ln n n k=1

1 k n

1
√
car ma n n!

dx x k=n k=2 1
.
k

mg .

n→+∞

√
6. On montre que ln( n+1 (n + 1)!) − ln( n n!) =
1
7. On a 0 <
1 + ln n

√ n n+1
2n

n! n 1 n(n + 1)

[ln(n + 1) − ln k]

0.

k+1

ln x dx

ln k