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MATRICES EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.

 1 −6 8  On considère la matrice A =  0 7 3  22 17 0,1  1) Donner le format de A 2) Donner la valeur de chacun des éléments
t

4  11 .  8
a14 , a23 , a33 et a32

3) Ecrire la matrice transposée A de A et donner son format Exercice n°2.  5 ... 7     ... 9 ...  . Soit la matrice A =  8 ... 0    7 1 3    1) Compléterl’écriture de A de format 4 × 3 avec : a32 = 5 , a23 = −4 , a21 = 8 et a12 = 11 2) Ecrire la matrice transposée At de A et donner son format
Exercice n°3. 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée. 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 ≤ i ≤ 3 et 1 ≤ j ≤ 3 , le terme aij soit donné par la formule aij = 2i − j

Exercice n°4.

2 5  7 2 On donne A =  et B =  .  3 −1  −1 −3  Calculez A + B , A − B , 3 A , 4B , 3 A − 4 B
Exercice n°5.

x 5   y 7 On donne A =   et B =  .  0 2x   −1 3 y   4 12  1) Trouver x et y pour que A + B =    −1 17   −5 −18  2) Trouver x et y pour que 2 A − 4 B =    4 −16 
Exercice n°6.

 1 3  −2 0   −4 6        On considère les matrices A, B et C définies par A =  −4 2  , B=  −2 1  et C =  −14 7   0 7  8 1  24 17        Trouver deux réels x et y tels que xA + yB = C .

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jgcuaz@hotmail.com

Exercice n°7. Effectuer les produits suivants lorsque c’est possible. Lorsque c’est impossible, dire pourquoi. 2 5  2 5  2 5     2 5  a) b)  4 6× 3 6  3 6× 4 6     4 7 4 7      c)

( −1
1  2 3 

e)

 0−1 6    4 5 ) ×  2 4 −2  3 5 3    −1   2 5     0 × 3 6    5  4 1

d)

f)

2  3 4  1  2 3 

5 0 1   6 3× 2   1 2  3 0 5  2   −1 6  ×  0   4 7  4

−1  0  5 7 8  2 3  5 6

Exercice n°8. Calculer, puis comparer les produits A × B et B × A  −1 8   4 2 a) A=  et B =    2 11  −5 8   2 1  5 2 c) A=  et B =    11  2 3

b)

4 8 3 9 A=  et B =   1 2 1 1

Exercice n°9. Dans chacun des cas, calculer les produits A × B et B × A . Quelle particularité présente-t-il ?  6 −12  12 6  a) A=  et B =    −3 6   6 3 2 4 0 2  b) A=  et B =    −1 −2   0 −1  Exercice n°10. On considère la matrice A définie par A =  Déterminer x pour que A2 =   Exercice n°11. 4 8 3 9 2Calculez et comparez A2 + 2 AB + B 2 et ( A + B ) avec : A =   et B =   1 2 1 1 Exercice n°12. 1 1  1 0 Soit les deux matrices A =   et I 2 =  . 5 6  0 1 a b a b On se propose de rechercher s’il existe une matrice   telle que A ×   = I2 . c d c d 1) Traduire cette égalité par un système de quatre équations à quatre inconnues 2) Résoudre ce système a b 3) Pour lesvaleurs trouvées a,b,c, et d , on pose A−1 =   c d Vérifier que A−1 × A = A × A−1 = I 2
6

 x 1  où x est un réel.  2 3

1    2 11

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Exercice n°13. Définir pour chaque système la matrice A et le vecteur colonne C tels que le système donné soit équivalent à l’égalité matricielle A × X = C  −5 x + 3 y = 2 2, 23 x − 5, 5 y = 12 1)  2)  − x + y= 5 0, 2 x + y = 7 3x − y = 15 3x − y + 2 z = 7   4)  y + 7 z = 12 3) 5 x + y − z = 8  x + y = 25 − x + 3 y + 7 z = −22    x + y + z = −5 5)  − y + z = 2 Exercice n°14.  3 −10  On considère la matrice A =    −2 8  1) A l’aide de la calculatrice, donner la matrice inverse A−1 (mettre les coefficients sous forme fractionnaire) 2) En déduire la résolution des systèmes suivants :3 x − 10 y = 4 3 x − 10 y = 1,5 3 x − 10 y = 15 3 x − 10 y = 1, 25 a)  b)  c)  d)   −2 x + 8 y = 7 −2 x + 8 y = −0, 4  −2 x + 8 y = −5 −2 x + 8 y = 0,5 Exercice n°15.
 x + y+ z = a  1) On considère le système 2 x + y + 3 z = b où x,y,z,a,b et c sont des nombres réels.  x − y + 2z = c 

3 x + 6 y = x + z + 31 6)  7 y + 2 z = x − y + 27

Exprimer les nombres réels...
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