Dynamique economique

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Le modèle de croissance optimale A d’Autume 2004 1 Le modèle sans progrès technique 1.1 Rappel sur le modèle de Solow et la règle d’or Le modèle de Solow suppose que l’épargne brute est proportionnelle à la production brute, soit S = sY . L’investissement net est donc ˙ K = I − µK = S − µK = sY − µK La fonction de production Y = F (K, L) est à rendements constants. En variables par tête, elleprend la forme y = f (k) Ceci permet d’exprimer le taux d’intérêt réel et le salaire réel sous la forme suivante r = f 0 (k) − µ, w = f (k) − kf 0 (k) L’équation dynamique devient ˙ k = sf (k) − µk − nk L’intensité capitalistique tend vers le point stationnaire k ∗ tel que f (k ∗ ) µ+n = ∗ k s L’intensité capitalistique de long terme k ∗ croît avec le taux d’épargne s. Il en va de même pour laproduction par tête y ∗ = f (k ∗ ). En revanche, l’influence du taux d’épargne sur la consommation par tête de long terme est ambiguë puisque c∗ = (1 − s)f (k ∗ ). Le taux d’épargne de la règle d’or est celui qui maximise la consommation par tête de long terme. Pour le caractériser (indirectement), on remarque que l’on a, à long terme, c∗ = f (k ∗ ) − (µ + n) k ∗ f 0 (k ∗ ) = µ + n soit r∗ = n 1

Larègle d’or est atteinte lorsque

Le taux d’épargne de la règle d’or doit rendre le taux d’intérêt réel égal au taux de croissance de la population ( ou de la production). 1.2 La croissance optimale On s’intéresse maintenant à la trajectoire de croissance tout entière, et non plus au seul étét stationnaire. On abandonne l’hypothèse d’un taux d’épargne donné et on endogénéise le comportementd’épargne et de consommation. Le modèle est : Z +∞ max e−(ρ−n)t U (ct ) dt
0

˙ K = F (K, L) − µK − cL K0 donné,

R +∞ Notez que la fonction d’utilité est 0 e−ρt Lt U (ct ) dt. Dans une perspective utilitariste, on somme, à chaque instant, les utilités des individus vivants. Le taux ρ représente un pur taux de préférence pour le présent. Pour assurer la convergence de l’intégrale définissant lafonction-objectif converge ( lorsque la consommation tend vers une constante), on suppose ρ>n Définissons le capital par tête k = K/L. La contrainte emplois-ressources peut s’écrire ˙ k = f (k) − c − (µ + n)k Le Hamiltonien courant est donc U (c) + x [f (k) − c − (µ + n)k] Les conditions d’optimalité sont U 0 (c) = x x = (ρ − n) x − x [f 0 (k) − µ − b] = (ρ + µ − f 0 (k)) x ˙ Avec une fonction d’utilitéCRRA, on a donc c/c = σ(f 0 (k) − µ − ρ) ˙ soit c/c = σ(r − ρ) ˙ où r représente le taux d’intérêt réel (implicite). 1.3 Etude du diagramme des phases et du point-selle 2

L = L0 ent

c

c=0

E

k

kGR

k k=0

Figure 1: On étudie le système ˙ k = f (k) − c − (µ + n)k Il existe un point stationnaire (k ∗ , c∗ ). Il représente un sentier de croissance homothétique où le capital et laconsommation totale croissent au taux n. L’intensité capitalistique de long terme k ∗ est telle que f 0 (k ∗ ) − µ = ρ Le taux d’intérêt de long terme est égal au taux de préférence pour le présent. Par hypothèse, il est supérieur au taux de croissance n. Le point stationnaire est donc caractérisé par une intensité capitalistique inférieure à celle de la règle d’or. La préférence pour le présentempêche la Société d’atteindre le niveau de capital qui maximiserait la consommation par tête. La configuration est celle d’un point-selle avec une trajectoire unique qui converge (de part et d’autre) vers le point stationnaire E. En horizon infini, cette trajectoire est la trajectoire optimale. 2 Le modèle avec croissance de la population et progrès technique 3 c/c = σ(f 0 (k) − µ − ρ) ˙

maxZ

+∞

e
0

−ρt

Lt U (ct ) dt =

˙ K = F (K, AL) − µK − C A = A0 eγt , K0 L = L0 ent donné

Z

+∞

e−(ρ−n)t U (ct ) dt

0

On suppose la fonction d’utilité homogène, pour permettre une croissance à taux constant. On pose donc U (c) = 2.1 La règle d’or On pose K k ˜ k= = , AL A On a alors c= ˜ C c = AL A c1−1/σ 1 − 1/σ

soit

³ ´ ˜ dk ˜ ˜ = f k − c − (µ + n + γ)k ˜...
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