Le modèle de croissance optimale A d’Autume 2004 1 Le modèle sans progrès technique 1.1 Rappel sur le modèle de Solow et la règle d’or Le modèle de Solow suppose que l’épargne brute est proportionnelle à la production brute, soit S = sY . L’investissement net est donc ˙ K = I − µK = S − µK = sY − µK La fonction de production Y = F (K, L) est à rendements constants. En variables par tête, elle prend la forme y = f (k) Ceci permet d’exprimer le taux d’intérêt réel et le salaire réel sous la forme suivante r = f 0 (k) − µ, w = f (k) − kf 0 (k) L’équation dynamique devient ˙ k = sf (k) − µk − nk L’intensité capitalistique tend vers le point stationnaire k ∗ tel que f (k ∗ ) µ+n = ∗ k s L’intensité capitalistique de long terme k ∗ croît avec le taux d’épargne s. Il en va de même pour la production par tête y ∗ = f (k ∗ ). En revanche, l’influence du taux d’épargne sur la consommation par tête de long terme est ambiguë puisque c∗ = (1 − s)f (k ∗ ). Le taux d’épargne de la règle d’or est celui qui maximise la consommation par tête de long terme. Pour le caractériser (indirectement), on remarque que l’on a, à long terme, c∗ = f (k ∗ ) − (µ + n) k ∗ f 0 (k ∗ ) = µ + n soit r∗ = n 1

La règle d’or est atteinte lorsque

Le taux d’épargne de la règle d’or doit rendre le taux d’intérêt réel égal au taux de croissance de la population ( ou de la production). 1.2 La croissance optimale On s’intéresse maintenant à la trajectoire de croissance tout entière, et non plus au seul étét stationnaire. On abandonne l’hypothèse d’un taux d’épargne donné et on endogénéise le comportement d’épargne et de consommation. Le modèle est : Z +∞ max e−(ρ−n)t U (ct ) dt
0

˙ K = F (K, L) − µK − cL K0 donné,

R +∞ Notez que la fonction d’utilité est 0 e−ρt Lt U (ct ) dt. Dans une perspective utilitariste, on somme, à chaque instant, les utilités des individus vivants. Le taux ρ représente un pur taux de préférence pour le présent. Pour assurer la convergence de l’intégrale définissant la