- Exercice fonction exponentielle -

Janvier 2014

Pour tout réel k strictement positif, on désigne par f k la fonction définie et dérivable sur

Ê telle que :

f k (x) = kxe−k x
. On note C k sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal O ; #” ı , #”
 .
Partie A : Étude du cas k = 1
On considère donc la fonction f 1 définie sur

Ê par f 1 (x) = xe−x .

1 . Déterminer les limites de la fonction f 1 en −∞ et en +∞. En déduire que la courbe C 1 admet une asymptote que l’on précisera.
2 . Étudier les variations de f 1 sur

Ê puis dresser son tableau de variation sur Ê.

3 . Représenter la courbe C 1 sur le graphique de la partie B
4 . Démontrer que la fonction g 1 définie et dérivable sur

Ê telle que : g 1 (x) = −(x + 1)e−x

est une primitive de la fonction f 1 sur

Ê.

5 . Étudier le signe de f 1 (x) suivant les valeurs du nombre réel x.
6 . (a) Calculer A = g 1 (1) − g 1 (0) et en donner une valeur approchée à 10−2 près.
(b) Soit k un réel strictement positif, calculer A k = g 1 (k) − g 1 (0).
Calculer lim (A k ). k→+∞ Partie B : Propriétés graphiques
On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes C 2 , C a et C b où a et b sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à C b au point O origine du repère.
0,6
T
0,4
C2
Cb

0,2
Ca

−0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1 . Montrer que pour tout réel k strictement positif, les courbes C k passent par un même point.
2 . (a) Montrer que pour tout réel k strictement positif et tout réel x on a f k′ (x) = k(1 − kx)e−k x .
(b) Justifier que, pour tout réel k strictement positif, f k admet un maximum et calculer ce maximum.
(c) En observant le graphique ci-dessus, comparer a et 2. Expliquer la démarche.
(d) Écrire une équation de la tangente à C k au point O origine du repère.
(e) En déduire à l’aide du graphique une valeur approchée de b.

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