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SYSTÈMES LINÉAIRES (1) : ÉTUDE FRÉQUENTIELLE.

ÉTUDE FRÉQUENTIELLE DES SYSTÈMES LINÉAIRES ET INVARIANTS DANS LE TEMPS (S.L.I.T.). I. Systèmes linéaires en régime harmonique.
 Linéarité On décrit un système physique par un opérateur, qui à un signal d’entrée e(t) associe un signal de sortie s(t). La fonction e(t)  s(t) est l’opérateur de transfert du système.
e(t) opérateur s(t)

Schémaunifilaire

Le système est linéaire si pour deux entrées e1 et e2 fournissant les sorties s1 et s2, une entrée 1e1  2e2 fournira une sortie 1s1  2 s2 .

La linéarité d’un système donne validité au principe de superposition.
Lorsque la relation entre e(t) et s(t) est une équation différentielle linéaire, le système est linéaire.  Invariance dans le temps. Un système est dit invariant (partranslation dans le temps) ou encore permanent si ses propriétés ne varient pas dans le temps. Conséquence : pour un système invariant, une translation dans le temps de la gran-

deur d’entrée induit la même translation dans le temps de la grandeur de sortie : e(t )  s(t )   , e(t   )  s(t   ) .
En électronique, ce comportement stationnaire du système est obtenu après une duréecaractéristique de fonctionnement après laquelle les paramètres externes sont stationnaires

Attention : l’invariance dans le temps d’un système n’implique en aucun cas la stationnarité du régime.  Continuité. Un système est continu si son opérateur de transfert est continu (ce qui suppose que toutes les grandeurs qui définissent sont état sont des fonctions continues du temps). Remarque : Lessystèmes continus sont définis en opposition aux systèmes discrets (en temps ou amplitude) qui sont séquentiels, échantillonnés, logiques, quantifiés, …  Stabilité. Un système est stable si sa réponse à une excitation bornée reste bornée à tout instant.  Signaux isomorphes : On appelle signal isomorphe tout signal qui a la même forme à l’entrée et à la sortie d’un système linéaire et invariant dans letemps (S.L.I.T.) Les signaux sinusoïdaux sont des fonctions isomorphes des systèmes linéaires : une entrée purement sinusoïdale donne au travers d’un système linéaire un signal de sortie lui même purement sinusoïdal, de même pulsation.

Remarque : L’entrée et la sortie n’ont pas a priori la même phase.

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SYSTÈMES LINÉAIRES (1) : ÉTUDE FRÉQUENTIELLE.

Ce résultat permet dedéfinir un critère de linéarité par la condition suivante : Si la réponse d’un système à un signal sinusoïdal n’est pas sinusoïdale de même pulsation, le système n’est pas linéaire.  Conclusion sur les S.L.I.T. Pour un système linéaire et invariant par translation dans le temps (S.L.I.T.), les signaux d’entrée et de sortie sont reliés par une équation différentielle linéaire à coefficients constantsdu type :

ds D0 s(t )  D1  dt

d ns de  Dn n  N 0  N1  dt dt

d me  Dm m . dt

Pour un système stable, la solution générale de l’équation sans second membre tend vers une limite nulle.

II. Fonction de transfert (ou transmittance). 1°) Définitions.
La linéarité et l’invariance dans le temps des paramètres d’un S.L.I.T. permet d’utiliser la représentation complexe, à la conditionexpress d’être en régime sinusoïdal forcé, encore appelé régime harmonique. En régime harmonique de pulsation , l’équation différentielle devient une simple équation e(t )  Re( E e jt ) algébrique liant les grandeurs complexes E et S, telles que :  . jt  s(t )  Re( S e ) En régime harmonique de pulsation 

dnX  ( j )n X et dt n

 Xdt 

1 X. j

On appelle fonction detransfert ou encore transmittance du S.L.I.T. le S complexe H tel que : H ( j )  . Son module, exprimé en décibels est appelé E le « gain » : gdB  20.log10  H  .
arg  H  représente le déphasage de la sortie sur l’entrée

On utilise aussi la notation H(p), où p  j , ce qui revient à ne considérer que les valeurs imaginaires pures de la variable p. La transmittance peut alors se mettre...
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