Developpement durable dans la construction

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MOCA B1

ED N° 1

THEORIE DES GRAPHES
NOTIONS DE BASE

I) Soit le graphe

A

B

F E II)

C

1) Donner G + (A ), G + (B), G - (A ), G - (B). 2) Donner les demi-degrés intérieurs et extérieurs des sommets A et B. Donner les entrée(s) et les sortie(s) de G. 3) Donner un exemple de chemin simple mais non élémentaire. 4) Existe-t-il un circuit hamiltonien dans G ? 5) G est-ilfortement connexe ? Justifiez votre réponse.

D A B C D E

Soit la matrice M binaire associé au graphe G :

È0 Í0 Í Í0 Í Í0 Í0 Î

1 0 0 0 0

0 1 0 1 0

1 0 0 0 0

0˘ A 0˙ B ˙ 1˙ C = M ˙ 1˙ D 0˙ E ˚

a) Tracer le graphe représentatif de cette matrice. b) Donner la matrice d'incidence de ce graphe. c) Calculer M2, M3, M4. Discuter la signification des coefficients non nuls de la matrice; d)Calculez les puissances booléennes de M : M[2], M[3], M[4]. Que pouvez vous en dire ?

& & e) Calculez ; A = I + M + M

[2]

& & + M [3] + M

[4]

(somme booléenne). Interpréter A.

III) Soit le schéma du circuit de train électrique de Laurent. Chaque aiguillage a deux positions possibles. Laurent a remarqué qu'au bout d'un certain temps, quelle que soit la position initiale du train,il n'emprunte jamais la partie E. (Le train n'utilise que la marche avant) Pouvez-vous, à l'aide d'un graphe à 10 sommets, expliquez pourquoi? Qu'arrive-t-il si on ajoute le tronçon F symétrique de E ? A B C D

E IV On appelle "graphe réduit" d'un graphe orienté G ayant m composantes fortement connexes : C1…Cm ; le graphe G' qui a m sommets x1…xm, tel qu'il existe un arc de xi vers xj dans G',s'il existe un sommet x dans Ci , un sommet y dans Cj et un arc (x, y) dans G. Montrer que le graphe réduit G' d'un graphe orienté G est sans circuit. Déterminer G' pour le graphe orienté G suivant : j b e a c f l

k g h

d

Chaire de R.O.

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MOCA B1
REPRESENTATION D'UN GRAPHE Soit le graphe G

ED N° 1

A

B

Représenter ce graphe sous forme : a) matricielle b) deliste d'adjacence

F E

C

D

II) Soit le graphe G = (X, U) de n = 6 sommets (numérotés de I = 1 à I = 6) et de m = 7 arcs (numérotés comme ci-dessous de j = 1 à j = 7), valué par des coûts et défini par les 3 tableaux suivants : a) Le tableau NARC (I) désigne le demi-degré extérieur du sommet I :

I NARC(I)

1 1

2 2

3 1
n

4 1

5 2

6 0

Vous expliquerez pourquoi on a :Â NARC (I) = m
i =1

b) Le tableau EXTR(J) liste, dans l'ordre lexicographique, les successeurs du sommet 1, puis ceux du sommet2, etc…(s'ils existent) ; EXTR(J) désigne le numéro du sommet qui est l'extrémité terminale de l'arc d'indice J (J =1, 2,…,7)) : on a donc numéroté les arcs en commençant par ceux issus du sommet 1, puis du sommet 2 et ainsi de suite. J EXTR(J) 1 6 2 1 3 3 4 6 5 1 62 7 4

c) Le tableau COUT(J) désigne la capacité de l'arc d'indice J : J EXTR(J) 1 9 2 8 3 3 4 4 5 5 6 7 7 6

Tracer le graphe G, à grande échelle. Montrer qu'il comporte une entrée e et une sortie s.

Chaire de R.O.

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MOCA B1 I
Soit G = un graphe de n sommets : S = (s1, s2,…,sn) Montrer que la somme des degrés de tous les sommets de G est un nombre pair. Montrer que,pour tout graphe, le nombre de sommets de degré impair est un nombre pair.

ED N° 2

II
Soit G un graphe connexe de n sommets. Question 1 : Montrer que la plus courte chaîne reliant deux sommets est élémentaire. En déduire que la plus longue des plus courte chaînes de G, est de longueur au plus n-1. Question 2 : Montrer que G a au moins n - 1 arêtes. On dit que G est "k-régulier" si toutsommet est de degré k. Question 3 : Montrer que si k est impair alors n est pair. Un graphe connexe comportant n-1 arêtes est un "arbre" (n ≥ 2). Question 4 : Montrer que dans un arbre il y a au moins deux sommets de degré 1. En déduire l’ensemble des arbres k-réguliers. Question 5 : Montrer qu’un arbre ne comporte pas de cycle. Un graphe G est "biparti" s’il est possible de partionner l’ensemble de...
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