ESIM 2003 PC I analyse Corrig´ e

Premi`re partie e 1.a) • F ⊂ E, car, si la s´rie de terme g´n´ral |uk | converge, alors uk −→ 0, donc (uk )k>0 est born´e. e e e e k∞ • F = ?, car la suite nulle est dans F. • Si α ∈ C, u = (uk )k>0 ∈ F, u = (uk )k>0 ∈ F, alors les s´ries de termes g´n´raux |uk | et |uk | convergent, e e e donc, comme |αuk +uk | |α| |uk |+|uk |, la s´rie de terme g´n´ral |αuk +uk | converge, et donc αu+u ∈ F. e e e On conclut que F est un C-sous-espace vectoriel de E. 1.b). Sn (v) = k=0 n

1 − z n+1 z = si z = 1 1−z k n

et

Sn (v) = k=0 1 = n + 1 si z = 1.

2. On a, pour tout n ∈ N : donc, comme la s´rie de terme g´n´ral e e e
+∞

un

xn |x|n converge (cours), la s´rie de terme g´n´ral un e−x converge. e e e n! n! (zx)n −x e = ezx e−x = e(z−1)x . n! n=0
+∞

xn −x e n!

M e−x

|x|n , n!

3.

Φv (x) = n=0 zn

xn −x e = n!

4. Puisque u ∈ E, il existe M > 0 tel que : ∀ n ∈ N, |un | M, d’o`, par l’in´galit´ triangulaire : u e e ∀ n ∈ N, |Sn (u)| M (n + 1). xn La r`gle de d’Alembert montre que la s´rie enti`re e e e M (n + 1) est de rayon infini, donc la s´rie e n! enti`re e n>0 xn Sn (u) est aussi de rayon infini. n!

n>0

5. • Si z = 1, on a, en manipulant des s´ries num´riques qui sont toutes convergentes : e e
+∞

Ψv (x) = n=0 Sn (v)

1 − z n+1 xn −x e−x x ze−x zx e−x x xn −x e = e = e − e = e − zezx n! 1 − z n! 1−z 1−z 1−z n=0

+∞

• Si z = 1 :
+∞

Ψv (x) =

(n + 1) n=0 xn xn −x xn−1 −x xn −x xn −x e = n e−x + e =x e + e = x + 1. n! n! n! (n − 1)! n! n=0 n=0 n=1 n=0 un n>0 +∞

+∞

+∞

+∞

6. Puisque les s´ries enti`res e e

xn et n!

Sn (u) n>0 xn sont de rayon infini, leurs sommes sont de n!

classe C ∞ sur R, et donc, par multiplication par la fonction x −→ e−x , qui est aussi de classe C ∞ , on conclut que Φu et Ψu sont de classe C ∞ sur R, autrement dit sont ind´finiment d´rivables sur R. e e m03fp1ca.tex - page 1

Deuxi`me partie e e−x x 1 −