Propriétés des fonctions
Sens de variation d’une fonction
Exercice 1 : Rappels
1/ Soit f une fonction définie sur [–2 ; 5] vérifiant les conditions suivantes : f est croissante sur [–2 ; 2] et décroissante sur [2 ; 5]. f(–2) = –3 ; f(2) = 4 et f(5) = 1.
a) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
b) Tracer une représentation graphique possible pour f.
c) Comparer f(–1,5) et f(0). Comparer f(2,3) et f(4,5).
2/ Plus généralement :
Soit f une fonction croissante sur un intervalle I, a et b appartenant à I
Si a < b alors ……………………
Soit f une fonction décroissante sur un intervalle I, a et b appartenant à I
Si a < b alors ……………………
Exercice 2 : Étude d’une fonction affine
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = –2x + 5.
1/ Quel est le sens de variation de f. Justifier
2/ L’objet de cette question est de démontrer ce qui précède.
a) On considère deux nombres réels a et b.
Démontrer que f(a) – f(b) = 2(b – a)
b) On suppose que a < b.
Que peut-on dire de b – a ? de 2(b – a) ? de f(a) – f(b) ?
c) Recopier et compléter :
Si a < b alors f(a) …… f(b).
d) Conclure.
Exercice 3 : Étude de la fonction « carré »
Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = x2. On veut déterminer les variations de g.
1/ On considère deux nombres réels a et b.
Calculer et factoriser g(a) – g(b).
2/ a) On suppose que 0  a < b.
Que peut-on dire de a – b ? de a + b ? de g(a) – g(b) ?
b) Quel est le sens de variation de g sur [0 ; +∞[ ?

3/ a) On suppose que a < b  0.
Que peut-on dire de a – b ? de a + b ? de g(a) – g(b) ?
b) Quel est le sens de variation de g sur ]–∞ ; 0] ?
4/ Dresser le tableau de variation de la fonction g.
Exercice 4 : Étude d’une fonction polynôme du second degré
Soit h la fonction définie sur IR par h(x) = –x2 + 4x – 6.
1/ On considère deux nombres réels a et b.
Démontrer que h(a) – h(b) = (b – a)(b + a – 4).
2/ On suppose que a < b  2.
Déterminer le signe de h(a) – h(b). En déduire le sens de variation de h sur l’intervalle ]–∞ ; 2].
3/ On suppose que 2  a < b.