Fiches méthodes en géométrie

I- Démontrer que deux droites sont parallèles

Propriété utilisée Enoncé de la propriété Figure Exemple
Droites parallèles à une même troisième.

Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. On sait que d et d’ sont parallèles et que d’ et d’’ sont parallèles.
Or si … alors …
Donc d et d’’ sont parallèles.
Droites
perpendiculaires à une même troisième.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. On sait que d et d’ sont perpendiculaires à d’’.
Or si … alors …
Donc d et d’ sont parallèles.
Côtés opposés d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange, d’un carré.
Si un quadrilatère est un parallélogramme ( ou un rectangle, un losange, un carré ) alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. On sait que ABCD est un parallélogramme.
Or si … alors …
Donc (AB) et (DC) sont parallèles. Et aussi : (AD) et
(BC) sont parallèles.
Théorème des milieux.
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle. On sait que dans le triangle
ABC, I est le milieu de [AB] et
J est le milieu de [AC].
D’après le théorème des milieux, on a donc :
(IJ) et (BC) sont parallèles. Réciproque du théorème de
Thalès.
Soient d et d’ deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de d
( distincts de A ).
Soient C et N deux points de d’
( distincts de A ).
Si = et si les points
A,M,B et A,N,C sont dans le même ordre alors (BC) et (MN) sont parallèles.

On sait que (BM) et (CN) sont sécantes en A. = . = = = .
Donc = .
De plus, les points A,M,B et
A,N,C sont dans le même ordre.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, on a donc :
(BC) et (MN) sont parallèles.
Image d’une droite par une symétrie centrale,
par