Grostitre27/12/2013 CNDP Erpent - Fonctions exponentielles. III - 1
III. Fonctions exponentielles.
1. Exemples introductifs.
Exemple 1
Une population de bactéries évolue dans un milieu homogène (espace illimité, nourriture suffisante, aucune maladie). Le comptage des bactéries qui se fait par échantillonnage, à des intervalles de temps régulier, révèle que la population double toutes les heures. Si le nombre de bactéries au temps t est N(t), où t est mesuré en heures, et si la population …afficher plus de contenu…

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Ses premières décimales sont : e = 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274…
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu’un nombre est transcendant s’il n’est solution d’aucune équation à coefficients entiers.
Le nombre 2 par exemple, est irrationnel mais n’est pas transcendant puisqu’il est solution de l’équation x 2 = 2. Un tel nombre est dit "algébrique"
5.3 Une situation concrète où on retrouve le nombre e
Le nombre e peut aussi se retrouver dans différentes situations. L'exemple suivant nous le …afficher plus de contenu…

Dérivées des fonctions exponentielles
6.1 Dérivée
Par définition même de la fonction exponentielle Népérienne, nous avons : (e x ) ' = e x et en appliquant la dérivée de la composée de 2 fonctions, nous obtenons : (e f(x) ) ' = f ' (x) e f(x) Et nous avons : (a x )' = a x ka et (a f(x) )
'
= f' (x) . a f(x) ka
Actuellement, nous ne sommes pas encore en mesure de calculer ka : nous le ferons dans le prochain chapitre.
En résumé.
(e
x
) ' = e x (e f(x) ) ' = f ' (x) e f(x) 6.2 Exercices
Calculer les dérivées des fonctions suivantes
1. f(x) = e x x3 2 12  2. f(x) = sin x . e
2X
3. f(x) = arccos e
-x
7. Exercices.
7.1 Résoudre les équations (ou inéquations) suivantes.
1. 2
3x-2
– 2