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Formule de Stirling
L’objectif de ce devoir est de trouver un ´quivalent de n! e On se propose de d´montrer la formule de Stirling : e √ n! ∼ nn e−n 2πn
+∞

—————

I
Constante d’Euler
—–
1
1
On consid`re la s´rie de terme g´n´ral un = − ln(1 + ) n ≥ 1. e e e e n n
1. Montrer que la s´rie e un converge
2. En d´duire que : e n
1
lim (
− ln(n) ) = C n−>+∞ k k=1 o` C est une constante r´elle, C > 0. C est la constante d’Euler. u e

II
Formule de Stirling
—–
an+1
−n n
On pose : pour n ≥ 1, an = n!.n e , vn = ln(
)
an
1. Exprimer vn en fonction de n puis montrer que la s´rie de terme g´n´ral vn diverge. e e e
√
2. Montrer qu’il existe une constante k > 0 telle que : en +∞ an ∼ k n
√
3. En d´duire que : n! ∼ k.nn e−n n e 4. On consid`re In = e π
2

0

sinn t dt n ≥ 0

(a) D´terminer une relation de r´currence entre In et In−2 e e
(b) D´terminer en fonction de p ∈ N, I2p et I2p+1 e I2p+1
=1
(c) Montrer que lim p→+∞ I2p
(d) En d´duire la valeur de k e 5. Prouver que : n! √
∼ nn e−n 2πn

+∞

III
Pour aller plus loin
—–
bn+1
1
On pose pour n ≥ 1, bn = n!n−n en (2nπ)− 2 , wn = bn 1 1
1
1. Montrer que ln(wn ) = − · 2 + o( 2 )
12 n n +∞ 1
1
2. On pose pour n ≥ 1, un =
, montrer que un ∼ lorsque n tend vers l’infini
2
n k=n k
1
(on pourra utiliser une comparaison avec une int´grale ou la s´rie e e
)
n≥1 n(n + 1)
√
1
1
1
1
+o( ) lorsque n tend vers l’infini, puis que n! = nn e−n 2nπ 1 +
+ o( )
3. En d´duire que bn = 1+ e 12n n 12n n ————

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