LIBAN BACCALAUREAT S 2003 Exercice 1 : Commun à tous les candidats

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Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l'urne. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des ( n -1) premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage. 1) Calculez les probabilités p2 , p3 et p4 . 2) On considère les événements suivants : Bn : " On tire une boule blanche lors du n-ième tirage " Un : " On tire une boule blanche et une seule lors des n -1 premiers tirages " a) Calculez la probabilité de Bn . b) Exprimez la probabilité de l'événement Un en fonction de n . c) Déduisez-en l'expression de pn en fonction de n et vérifiez l'égalité :

3) On pose Sn = p2 + p3 + .... + pn . a) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n > 2 , on a :

b) Déterminez la limite de la suite ( Sn )

Correction Exercice 1: Sur un tirage, la probabilité d'obtenir une boule blanche est 1/3 et d'obtenir une boule noire est 2/3. Les tirages sont indépendants. 1. p2 = Probabilité d'avoir 2 boules blanches = (1/3)² . p3 = Probabilité d'avoir une boule blanche unique dans les 2 premiers tirages puis une blanche = 2*(1/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27 p4 = Probabilité d'avoir une boule blanche unique dans les 3 premiers tirages puis une blanche = 3*(1/3)*(2/3)²*(1/3) = 4/27 2. a) L'événement Bn est "obtenir une boule blanche au n-ième tirage". Comme les résultats des tirages sont indépendants les uns des autres, on a: P(Bn) = 1/3 b) Pour Un , la boule blanche peut avoir n'importe quelle position dans les (n-1) premiers tirages, les boules autres dans les (n-1) premiers tirages sont noires. La dernière boule peut-être quelconque. Il y a (n-1) façons de placer la boule blanche patmi les (n-1) premières