Corrigé du DM n° 4

Exercice 1 :

1. [pic] M est donc le barycentre du système de points pondérés [pic]. On démontrerait de même que N est le barycentre du système de points pondérés [pic].
2. a) D’après la règle d’associativité, le barycentre H des points pondérés {(A,3) ;(D,1) ; (C,1)} est aussi le barycentre des points pondérés {(A,3) ;(J,2)}car J milieu de [CD] est l’isobarycentre des points C et D. En conséquence, les points H, A et J sont alignés et H est un point de (AJ).

b) En associant les points de façon différente, on établit que H est le barycentre des points pondérés {(C,1) (N,4)} puisque, d’après la question précédente, N est le barycentre du système de points pondérés [pic]. H est donc également un point de (CN). H est donc le point de concours des droites sécantes (AJ) et (CN), d’où la construction.

3. On applique la règle d’associativité de trois façons différentes pour montrer l’appartenance du point G, barycentre de {(A,3) ; (B,1) ;(C,1) ; (D,1)}, aux trois droites (MJ), (NI) et (AC).

* G barycentre de {(A,3) ;(B,1) ;(C,1) ; (D,1)} est aussi barycentre de[pic] car M est le barycentre de [pic] et J celui de { (C,1) ;(D,1)}. Donc [pic].

* G barycentre de {(A,3) (B,1) (C,1) et (D,1)} est aussi barycentre de [pic] car N est le barycentre de [pic] et I celui de { (B,1) ;(C,1)}. Donc [pic].

* G barycentre de {(A,3) (B,1) (C,1) et (D,1)} est aussi barycentre de {(A,3) (C,1) et (O,2)} car O centre du carré ABCD est le milieu commun des diagonales, en particulier [BD], il est donc le barycentre de { (B,1) (D,1)}.

O étant également le milieu de [AC], les trois points A, C et O sont alignés et le barycentre G est aligné avec eux ; donc [pic]. En conclusion, les droites (MJ), (NI) et (AC) qui contiennent un même point G sont soit confondues