La moyenne

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  • Publié le : 9 décembre 2010
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MOYENNES

1. Moyennes : premières formules Moyenne arithmétique simple x de n éléments x1, x2, ... , xn–1, xn Moyenne arithmétique pondérée x de n éléments x1, x2, ... , xn–1, xn munis des coefficients p1, p2, ... , pn–1, pn Exemples : Une élève de 1ère ES a obtenu les notes suivantes : 12 ; 15 ; 9 ; 17 ; 12 ; 6 ; 13. Calculer n et la moyenne À . x Il y a 7 notes, donc n = 7 et : x= 12 + 15 + 9+ 17 + 12 + 6 + 13 84 = = 12 7 7 x1 + x2 +...+ xn -1 + xn n

x=

x=

p1 x1 + p2 x2 +...+ pn -1 xn -1 + pn xn p1 + p2 +...+ pn -1 + pn

Une élève de 1ère ES a obtenu les notes (avec coefficients) suivantes : 12(3) ; 15(2) ; 9(2) ; 17(1) ; 14(2) ; 6(2) ; 13(3). Calculer la somme des coefficients N et la moyenne À . x N = 3 + 2 + 2 + 1 +2 + 2 + 3 = 15 et : x= 3 ´ 12 + 2 ´ 15 + 2 ´ 9 + 1 ´ 17+ 2 ´ 14 + 2 ´ 6 + 3 ´ 13 180 = = 12 15 15

Mathieu a eu les notes (avec coefficients) suivantes : 6(2) ; 8(3) ; 12(1). Le prochain devoir a un coefficient 4. Quelle note devra-t-il obtenir pour avoir la moyenne ? Soit x la note à obtenir pour avoir la moyenne ; x est donc tel que : 10 = En multipliant par 10 : 2 ´ 6 + 3 ´ 8 + 1 ´ 12 + 4 ´ x 10 100 = 12 + 24 + 12 + 4x

On obtient 4x = 52 puisx = 13. Mathieu doit obtenir un 13 pour avoir la moyenne.

2. Moyennes : variations Si on augmente toutes les valeurs x1, x2, ... , xn–1, xn du même nombre k, la moyenne augmente aussi de k Si on multiplie toutes les valeurs x1, x2, ... , xn–1, xn par un même nombre k, la moyenne est aussi multipliée par k Exemple : Les moyennes trimestrielles en Mathématiques des élèves d'une 1ère ES sont : 8,9, 12, 5, 7, 14, 7, 9, 10, 10, 11, 7, 9, 11, 5, 8, 13, 7, 9, 10, 11, 5, 7, 9, 12 Calculer la moyenne de la classe Le professeur souhaite ramener cette moyenne à 10. Il hésite entre ajouter un certain nombre de points à toutes les notes ou multiplier toutes les notes par un certain nombre. Méthode 1 : Combien de points faut-il rajouter aux notes des élèves pour que la classe ait 10 de moyenne ?Moyennes

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Méthode 2 : Par combien faut-il multiplier les notes des élèves pour que la classe ait 10 de moyenne? Il y a N = 25 notes, et on trouve : x= 225 =9 25

Méthode 1 : la moyenne de la classe est 9. Pour obtenir 10, il faut donc rajouter 1 point à chaque élève. Méthode 2 : pour passer de 9 à 10, il faut multiplier par k = 1,1111... (moyenne, il faut donc multiplier les notes des élèves par 1,1111... 10 ). Pour que la classe ait 10 de 9

3. Intégration d'un nouvel élément dans une moyenne Soit x la moyenne des n éléments x1, x2, ... , xn–1, xn pondérés par les coefficients p1, p2, ... , pn–1, pn. Notons N = p1 + p2 +...+ pn -1 + pn . On a donc : x= p1 x1 + p2 x2 +...+ pn -1 xn -1 + pn xn N

Soit a un nouvel élément avec uncoefficient p. La nouvelle moyenne X peut se calculer à partir de l'ancienne x grâce à la formule suivante : X= Exemple : Marc a déjà obtenu les notes (avec coefficients) suivantes : 9(3), 11(5), 13(2), 18(1), 9(2) et 12(1). Calculer sa moyenne À . x Marc obtient une nouvelle note : 15 coefficient 4. Calculer sa nouvelle moyenne X . À On a : x= 3 ´ 9 + 5 ´ 11 + 2 ´ 13 + 1 ´ 18 + 2 ´ 9 + 1 ´ 12 174 = 12,43 14 14 X= 14 ´ 174 + 4 ´ 14 230 14 =  12,78 14 + 4 18 N x + pa N+p

Sa nouvelle moyenne est :

4. Moyenne de moyennes La moyenne m de deux moyennes m1 et m2 munies des coefficients respectifs p1 et p2 est donnée par la formule : m= Exemple : Une classe est composée de 55% de filles. Les élèves de la classe sont répartis suivant leurs âges et leurs sexes comme l'indique le tableausuivant : 15 ans Garçons Filles 10% 20% 16 ans 78% 70% 17 ans 12% 10% p1m1 + p2 m2 p1 + p2

Calculer la moyenne d'âge m1 des garçons et la moyenne d'âge m2 des filles. Calculer la moyenne d'âge m de la classe.

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Moyenne d'âge m1 des garçons : Moyenne d'âge m2 des filles :

m1 = m2 =

10 ´ 15 + 78 ´ 16 + 12 ´ 17 = 16,02 100 20 ´ 15...
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