IdC 2A

Jeudi 16 octobre

La méthode du simplexe sur un exemple.
1

Mise en place du cadre.

On étudie le programme linéaire suivant écrit sous forme canonique : max z = 5x + y

 x


 30x + y

y sous contraintes

 x



y

Dénition 1.1 On appelle variable

d'écart la quantité mer une contrainte d'inégalité en contrainte d'égalité.

≤
4
≤ 150
≤ 60
≥
0
≥
0 positive qui permet de transfor-

Ici, on a trois contraintes donc on ajoute trois variables d'écart x3 , x4 , x5 . max z = 5x1 + x2

+ x3  x1


30x1 + x2 + x4 sous contraintes x2 + x5 

 x1 , x2 , x3 , x4 , x5

= 4
= 150
= 60
≥
0

L'écriture matricielle est la suivante :


1
30
0

2

  x1  
0 1 0 0 x2 
4
 
1 0 1 0 x3  = 150
 
1 0 0 1 x4 
60
x5


Base, solution de base, solution de base réalisable

Dénition 2.1 On dit que (xi

, xi2 , . . . , xim ) est une base si la sous-matrice construite sur
1
les colonnes (i1 , i2 , . . . , im ) est inversible.
On dit alors que les m variables (xi1 , xi2 , . . . , xim ) sont les variables de base et que les n variables restantes sont les variables hors base.

Ici, m = 3 et il y a 5 variables au total. Un base aura donc 3 variables et il y aura systématiquement 2 variables hors base. Donnons quelques exemples :



0
0
1

0
1. La famille {x2 , x4 , x5 } ne forme pas une base car la sous matrice associée 1
1

0
1
0


0 1
2. La famille {x2 , x3 , x5 } forme une base car la sous matrice associée 1 0
1 0 inversible. Ici, {x1 , x4 } sont hors base.

1 0
3. La famille {x1 , x2 , x3 } forme une base car la sous matrice associée 30 1
0 1 inversible. Ici, {x4 , x5 } sont hors base.


0
0 est
1

n'est pas inversible.

1


1
0 est
0

Dénition 2.2

1. On appelle solution de base une solution du système Ax = b où les n variables hors bases sont nulles et les valeurs des m variables de base sont