CHAPITRE I : TRANSFORMÉES DE LAPLACE
A. FONCTIONS CAUSALES

Définition : Une fonction f , définie sur IR est causale si : Pour tout t < 0 , f(t) = 0. 1. Echelon unité Définition : L’échelon unité U est la fonction définie sur IR par : U(t) = 0 si t < 0 U(t) = 1 si t ≥ 0

Remarque : U est constante par morceaux. Elle est discontinue en 0. 2. Utilisation de l’échelon unité Définition : Pour transformer une fonction g définie sur IR en une fonction causale f prenant les mêmes valeurs sur [0 ; +∞[ , on la multiplie par l’échelon unité : f(t) = U(t)g(t) pour tout t ∈ IR Exemples

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3. Translation d’une fonction causale a. Echelon unité Considérons la fonction translatée de l’échelon unité ayant le saut à l’instant t = τ. On a : h(t) = 0 si t < τ h(t) = 1 si t ≥ τ On peut alors écrire : h(t) = U(t – τ) pour tout t ∈ IR. En effet : U(t – τ) = 0 si t – τ < 0 soit t < τ U(t – τ) = 1 si t – τ ≥ 0 soit t ≥ τ Proposition : La translatée de vecteur τ i de l’échelon unité est la fonction définie sur IR par : U(t – τ). b. Cas usuels Proposition : La translatée de vecteur τ i de toute fonction causale de la forme f(t)U(t) est définie sur IR par : f(t – τ)U(t – τ). Remarque : La fonction définie sur IR par : f(t) U(t – τ) n’est pas la translatée de la fonction f(t)U(t), c’est une fonction qui prend les mêmes valeurs que f sur l’intervalle [τ ; +∞[. Exemple : Fonction causale : t U(t) Translatée : (t – 2)U(t – 2) Fausse translatée : t U(t – 2)
→ →

Exercice : Dans chaque cas tracer les translatées demandées des fonctions causales données. Fonction causale Translatée de τ = 1 Translatée de τ = 3

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B. INTEGRALES IMPROPRES
1. Généralités Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; +∞[ et continue par morceaux. Soit A un nombre réel. Si : lim x +∞

x→+∞

∫ f (t )dt = A alors l’intégrale impropre ∫ f (t )dt est convergente et égale au nombre A. a a
+∞

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale impropre est divergente. Exemples :