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CHAPITRE 2 : LIMITES ET CONTINUITE DE FONCTIONS NUMERIQUES D’UNE VARIABLE REELLE

1. Limites : 1.1. Notion de limite et définitions :
1.1.1. Limite en un point x0 de ℝ :
Soit une fonction f définie sur un ensemble E qui est un intervalle ou une réunion de deux intervalles tels que l’union de E et de x0 soit un intervalle.

Exemples :
E = ]0 ; 1] et x0 = 0 E = [-1 ; +∞[ et x0 = -1

La fonction f admet une limite l lorsque x tend vers x0 si elle vérifie la propriété suivante : ∀�� ∈ ℝ+ , ∃�� ∈ ℝ+ tel que ∀�� ∈ E, �� − ��0 < �� ⇒ �� �� − �� < �� Cette formulation mathématique peut se traduire comme ceci : « on peut choisir un intervalle [l-ε ; l+ε] autour de l aussi petit que l’on veut, on pourra toujours trouver un intervalle autour de x0 dont l’image par f est incluse dans [l-ε ; l+ε]. Autrement dit, au fur et à mesure que les valeurs de x tendent vers x0, les valeurs de f(x) tendent vers l. On note alors lim��→�� 0 �� �� = �� ou lim�� 0 ��(��) = ��
∗ ∗

Illustration graphique :

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Exemple : lim��→2 ��+3 = 0 On a de la même manière : lim��→�� 0 �� �� = +∞ si ∀�� ∈ ℝ+ , ∃�� ∈ ℝ+ tel que ∀�� ∈ E, �� − ��0 < �� ⇒ �� �� > �� Les valeurs de f(x) « croissent de plus en plus » quand x tend vers x0 lim��→�� 0 �� �� = −∞ si ∀�� ∈ ℝ+ , ∃�� ∈ ℝ+ tel que ∀�� ∈ E, �� − ��0 < �� ⇒ �� �� < −�� Les valeurs de f(x) « diminuent de plus en plus » quand x tend vers x0 Ex : lim��→0 ln �� = −∞ La limite en un point ��0 peut donc être finie (= ��) ou infinie (= +∞ ou −∞).
∗ ∗ ∗ ∗
��−2

1.1.2. Limite à droite, limite à gauche :
Si x0 est exclus de E (fonction non définie en x0) A toute valeur différente de x0 correspond une valeur de y. A fur et à mesure que les valeurs de x tendent vers x0, les valeurs prisent par y= f(x) tendent vers une certaine valeur, appelée limite de f(x) quand x tend vers 0.

Exemple :
E = ]1 ;3[− {2} et x0 = 2 La limite de f(x) quand x tend vers x0 par valeurs inférieures est notée lim��→�� 0− �� �� La limite de f(x) quand x tend