Les grecques en finance

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  • Publié le : 22 mars 2011
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Les grecques sont les sensibilités d'une position par rapport à un paramètre.

Prenons l'exemple du delta, la sensibilité d'un produit dérivé c (ou d'un book de produits dérivés) à son sous-jacentS.
Mathématiquement, il se mesure par une dérivée : delta = dc/dS (dérivée de c par rapport à S).
Plus concrètement, voilà à quoi le delta correspond : quand S varie de 1€, c varie de delta euros.Ainsi, pour couvrir c contre les variations de S, il faut vendre delta unités de S : la nouvelle position obtenue : c - delta S aura un delta nul !

Malheureusement, pour l'essentiel des produitsdérivés, le delta dépend du niveau de S et va donc varier de telle sorte que la couverture doit être réajustée constamment, on parle de couverture dynamique.

Deux autres grecques méritent de s'yattarder un moment.
Gamma est la sensibilité du delta à S : c'est donc la derivée de la dérivée de c par rapport à S (on parle de dérivée d'ordre 2), notée d²c/dS².
Theta est la sensibilité de c parrapport au temps t : contrairement aux autres, ce n'est pas réellement une mesure de risque en ce sens qu'on ne peut se couvrir contre le temps qui passe !

Une relation unit nos trois grecques : delta,gamma et theta.
Elle est appelée Equation aux Dérivées Partielles (EDP) de Black and Scholes.
C'est la relation qui est à la base de la fameuse formule de Black and Scholes, que tu dois connaître.Elle s'écrit comme suit :
theta + r S delta + sigma S²/2 gamma = r c

Elle permet une remarque fort intéressante : une fois la couverture en delta effectuée, il ne reste plus que les termes entheta et en gamma à gauche, et le terme de droite négligeable.
Ceci permet de s'apercevoir que :
- soit on est theta positif (theta > 0) et gamma négatif (gamma < 0)
- soit on est theta neg et gammapo
C'est-à-dire que soit notre position croît avec le temps (tout autre paramètre constant par ailleurs), mais en contrepartie a un gamma négatif, soit notre position baisse au cours du temps, mais...
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