Les guerres

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  • Publié le : 26 novembre 2010
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National S 2010

Equation différentielle – Restitution organisée de connaissances : suites – QCM Probabilité – Complexes
Annales bac S non corrigées : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/terminale.html
Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/bac_2010/bac_s_national_2010.doc

BACCALAUREAT GENERAL Session 2010
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4heures Coef. : 7 ou 9

OBLIGATOIRE et SPECIALITE

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à conditionde l’indiquer clairement sur la copie
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Le sujet comporte 5 pages numérotées de 2 à 6 et une ou deuxannexes à rendre avec la copie.

EXERCICE 1 (6 points)
Commun à tous les candidats

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A :

On considère l’équation différentielle (E) : y’ + y = e-x.
1. Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels R par u(x) = xe-x est une solution de l’équation différentielle (E).

2. On considère l’équation différentielle(E’) : y’ + y = 0. Résoudre l’équation différentielle (E’).

3. Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonction v −u est solution de l’équation différentielle (E’).

4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).

5. Déterminer l’unique solution g de l’équationdifférentielle (E) telle que g(0) = 2.

Partie B :

On considère la fonction fk définie sur l’ensemble R des nombres réels par fk(x) = (x +k)e-x où k est un nombre réel donné.
On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthogonal.
1. Montrer que la fonction fk admet un maximum en x = 1−k.

2. On note Mk le point de la courbe Ck d’abscisse 1−k. Montrer que le point Mkappartient à la courbe Γ d’équation y = e-x.

3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :
• •la courbe Γ d’équation y = e-x;
• •la courbe Ck d’équation y = (x +k)e-x pour un certainnombre réel k donné.

a. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie).

b. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.

4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer [pic]. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
EXERCICE 2 (5 points)
Commun àtous les candidats

1. Restitution organisée de connaissances
Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.
Propriété 1 :si deux suites (un) et (vn) sont adjacentes avec (un) croissante et (vn) décroissante alors pour tout entier naturel n, vn >un.
Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

2. Dans...
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